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in modo che essa resulti pure funzione di x finita e continua ; sia inoltre, 

 per ogni x e per ogni s, 



s 



e) YiU n (oc) < G , 



1 



allora è sicuramente, in ogn; punto x di a...b 



©o oC 



^u'jx) = D x • ^U n (x) 



1 1 



e la convergenza uniforme a tratti della 2>u n (oc) è nell'ipotesi e) non solo 



i 

 condizione sufficiente, ma anche necessaria se essa deve essere la derivata 



co 



finita e continua di 2u n (x). 



Ifl. — Diamo alcuni esempi: 



1° Riprendiamo la serie già considerata nella Parte Prima (pag. Ile 27), 



1 — 3G-+- (1 X)X H h(l x)x n ~ 1 -\ 



-Qui é per x in 0...1 e per ogni n, sempre 



\S n (x)\<l. 



La 



S(x) = lira S n (x) 



avendo una sola discontinuità nel punto x = 1 , é atta all'integrazione in 

 0...1, come lo é ciascuna delle funzioni continue S»(x) per ogni n fìsso: 

 si verifica d'altronde subito che, tolto un intorno del punto x=l di am- 

 piezza arbitrariamente piccolo £, nella parte rimanente si ha la conver- 

 genza uniforme a tratti e quindi nell'intero intervallo 0...1, la conver- 

 genza uniforme a tratti in generale. 



È dunque qui perfettamente applicabile la proposizione del n.° 7: e per 

 conseguenza si ha 



S n (x)dx = 2 ! ( 1 — x)x n .dx 



.che è del resto di immediata verifica. 



In virtù poi dell'altra prop. (n.° 10) la serie 



( ^ fl \n + l n-ì-2/ 



