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1£. — Procediamo ora a studiare l'altro caso, in cui non si verifica 

 la diseguaglianza 



\f(x,y s )\ <L (L finito) 

 per tutti gli x e gli y s . 



Esisteranno sulla retta y = y certi punti x', avvicinandosi ai quali col 

 punto variabile (x,y s ), i valori che la f(x, y s ) va via via assumendo al- 

 meno secondo una qualche linea, non hanno un limite superiore finito : o 

 anche si può dire : per un siffatto punto x non si può assegnare un in- 

 torno x' — d'...x'-he' e contemporaneamente un valore y s tale che per 

 un x qualsiasi preso in quell'intorno e per un qualunque y s -+. P sia 



1/(^,^-^)1 <L. 



Chiameremo punti x' i punti pei quali si presenta questa singolarità. 



Diciamo che il gruppo G di tali punti x' é chiuso. — Invero, sia x 

 un loro punto limite: in ogni intorno x — $ . . . x -+- e che si fissi e co- 

 munque preso un valere y s ^. P , non si potrà evidentemente dire che per 

 tutti i punti (x,y) pei quale x cade tra x — d e x -+- e e y é uno dei 

 successivi ^. +])+1 , ^_ f _ j p_ H2 , ecc. sia verificata la diseguaglianza 



\f(x, y s +p+r) | < L 



per un qualche L finito, il punto x n appartiene dunque al 'gruppo. 



Deriva di qui, per note proposizioni della Teoria degli insiemi di Cantor 

 che se si suppone il gruppo G numerabile, sarà allora numerabile anche 

 il suo primo gruppo derivato : e G sarà riducibile e r inchiudibile. 



Se G non é supposto numerabile, conterrà in sé una parte formante 

 un gruppo perfetto. 



Si presuppone la integrabilità della f(x, y ) e quindi la esistenza della 



6(x) = \f(x, y )dx 



come pure la esistenza della 



${x,y ) = \\m if(x,y s )dx 



i/s — l/oJa 



pure finita e continua : condizione che se non è sufficiente, é certo neces- 

 saria se deve essere 



(p(x, y )= (x), 



e ricordiamo che ciò equivale a dire che (p(x,y ), in ogni punto x, deve 



