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Si ha dunque infine 



flfr-t-ft.yj-flfr.y,) = 1 p ; y<>)dx __ p .£ __ ^ 



6(x -+- A) — #(#?) ; / fi 



h 



À 



(*+$) 



la quale relazione vale per ogni coppia di valori x e x-\-h, che si fìssi 

 come dianzi é detto, e per un À affatto arbitrario che si voglia scegliere. 

 Donde deriva, che per ogni coppia x e x-hh, x non appartenendo al 

 gruppo G, si ha 



<p(x -+- h, y ) — <p(x , y n ) __ 6(x + /t)- 0(x) m 

 h h 



due derivate omonime, p. es. le derivate a destra superiori, che, seguendo 

 le notazioni di Scheeffer l * ) , indicheremo con D^ e D^ , coincidono 

 dunque in ogni punto x che non appartiene al gruppo G. 



Ma allora, il gruppo G essendo numerabile, per un noto teorema di 

 Scheeffer é, in ogni punto x 



e poiché é 



cosi si ha l'identità 



<p(x, y ) = 6(x) -+- cost , 

 q)(x , y,) = 6(x) ; 



vale cioè la relazione a) del n.° 7. 



a) \.\imf(x, y s ).dx = lim \f(x, y s )dx . 



Possiamo dunque enunciare : quando sia soddisfatta la condizione per- 

 ché valga la proposizione del n.° 3, affinchè sia inoltre valida la relazione a) 

 è sufficiente che il gruppo dei punti (x r , y ) nell'intorno dei quali il limite 

 superiore dei valori della f(x,y s ) cessa di essere finito, sia numerabile. 



Nell'esempio di Osgood sopra esposto, il gruppo G è il gruppo per- 

 fetto T che si compone di tutti i punti estremi (e dei punti limiti) dei 

 tratti, che via via intervengono nella costruzione successiva delle (p n ; esso 

 é quindi non numerabile. 



(*) Scheeffer (lavori citati). 



