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Non si può però asserire che la numerabilità del gruppo G dei punti x 

 sia necessaria alla validità della a). 



Osseroazione. Il teorema di Scheeffer sopra invocato ci dice che se 

 due derivate omonime di due funzioni continue sono finite e eguali in tutti 

 i punti di un intervallo, eccettuati quelli di un gruppo numerabile, ciò é 

 sufficiente per asserire che le funzioni differiscono per una costante. 



Ma, come Scheeffer osserva, la numerabilità non può dirsi neces- 

 saria : lo sarebbe quando fosse dimostrato che in ogni gruppo non nume- 

 rabile esiste, se non lo é esso medesimo, una parte che forma gruppo 

 perfetto. Invero si sa ( *>, che se é dato un gruppo perfetto, anche non rin- 

 chiudibile, vi sono delle funzioni continue non costanti le quali hanno la 

 derivata nulla in ogni punto che non è del gruppo : in modo che se ip(x) 

 indica una di tali funzioni e di due funzioni 0(x) e <${x) si sa solo che 

 due derivate omonime coincidono in ogni punto, eccettuati quelli di un 

 gruppo perfetto, si può sempre dire che é 0(x) = <p(x) -+- ip(x) . 



Ma non è, per ora dimostrato che un gruppo non numerabile contenga 

 sempre una parte che é gruppo perfetto. 



Nel caso nostro però il gruppo G dei punti x' è chiuso e se è non 

 numerabile contiene sempre, come già dicemmo, un gruppo perfetto : per 

 conseguenza, della sola esistenza delle funzioni 



/(a?, y o )dx = 0(x) 



lim 1/(30, y s )dx = (p(x, y ) 



ys—y. 



a 



finite e continue, in base al teorema stesso di Scheeffer, se altre con- 

 dizioni non intervengono, non si può affatto asserire che sia 



0{X) = <p(x , y ) 



potrà benissimo invece essere 



0(x)-h ip(x) = <p(x,y Q ): 



nell'esempio di Osgood siamo infatti in un caso in cui ciò avviene. 



(*) Scheeffer (lavori citati). — Cantor (Acta etc. 4). — Harnack (Mathematischen Annalen,24). 



