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 !3. — Come si è fatto al n. 8.° si prenda 



/(oc, t y,) = 2j M «( a? ) 



i 



co 



/(a?, y )=^u n (x) 

 i 



e avremo: se ognuna delle u,(x), u 2 (x),... è integrabile in a...b: se la 



somma 2u r (x) è determinata , inferiore sempre in valore assoluto a un nu- 

 i 



mero finito e integrabile, affinchè inoltre sia 



pX co co r x 



^ l u r '.x)'d3c = '^ i \u r ,{x>doc 



Ja 1 1 J a 



= rx 



è sufficiente che, essendo 2<|u r (x)dx una funzione finita e continua di x in 



1 J a 



tutto a...b, il gruppo dei punti x', pei quali non si può assegnare un in- 

 torno x' — d'...x'-\-e' e un valore intero n cosifatto che per ogni x ivi e 

 per ogni intero m si abbia, 



n-t-m 



n 



sia numerabile '*'. 



< L , (L finito) , 



14. — Si ricordino le ipotesi e le notazioni poste a principio del n.° 9 

 e si lasci cadere la condizione e). 



Se il gruppo dei punti x , nell'intorno dei quali la condizione e) non si 

 verifica, è numerabile, allora, per la proposizione del n.° 10, si ha 



si ponga 



sarà 



■>X r>x 



$(&, y ) = lim \fjas, y s )doG 



<p(x, y )dx = ìp(cc) : 



ip(dD) = lim \f(x, y s ) —f(a, y,)\ , 



ì/s = J/o 



quindi se almeno in un punto esiste determinato il \imf(x, y s ), altrettanto 



(*) Questo teorema è dimostrato da Osgood nella memoria citata, per via differente e nell'ipo- 

 tesi che le u x {x), u^x),... e la 2u r (x) siano funzioni continue. 



ì 



Serie V- — Tomo Vili. 



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