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dovrà accadere in ogni altro punto. — Ma nel caso nostro ciò si verifica 

 perché il gruppo dei punti x è anche rinchiudibìle, e se si fìssa un tratto 

 privo di tali punti x, per tutto questo tratto é soddisfatta la condizione e), 

 il che produce nel tratto medesimo, la eguale continuità di tutte le f(x, y s ): 

 epperó la convergenza uniforme di esse ad un limite, che in questo caso 

 è certamente unico, perchè é unico per ipotesi il \\mfà(x, y s ). 



Esiste dunque in ogni punto x 



lim/(^, y s )=J~(x, y Q ) 



2A = 2/o 



e sarà 



ip(x) =f(x, y ) —f{a , y ) 



In ogni punto x di continuità della (p(x, y Q ) si avrà 



$0», y Q ) — ^'teO = D *'\ lim /(^ Us)\ = D*-f(ao % y Q ) 



cioè 



lim D x -f{x, y s ) = D x - lim/(as, y s ) 

 ys=y* y*=y* 



io. — Si richiamino le posizioni fatte al n.° 10; si avrà: se ognuna 



delle u',(x) è finita e integrabile in a...b: se lo è 2u|/(x), allora, se è 



i 

 numerabile il gruppo dei punti x' neW intorno dei quali non è verificata la 



solita condizione b) , cioè per un qualche in/orno di x' e per un qualche n 



non sussiste la disuguaglianza 



£"n(a?) 



< L , (L finito) 



ciò è sufficiente perchè in ogni punto, dove 2u' ( (x) è continua si abbia 



d 



S<(^) = ^-rS"n(^) 



dx' 



Se le u^(x) sono ognuna, sempre continua in ogni punto di a...b: se è 

 pur tale la 2u^(x): e se inoltre rispetto al gruppo dei punti x' è verificata 

 la condizione ora detta, si avrà in ogni punto x di a . . . b 



OO j OO 



