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4C». — I teoremi dati qui sulla derivazione delle serie offrono oppor- 

 tunità di un'osservazione relativa alla serie di funzioni analitiche. 



Occorre premettere l'estensione di alcune proprietà delle serie eli fun- 

 zioni di una variabile. 



Si consideri una serie 



oo 



5>*(a?, y) = i\(x, y) -+- u 2 (x, y) -\ = s(x, y) 



1 



di funzioni delle due variabili x e y, determinata in ogni punto (x, y) di 

 un campo C. 



Con ragionamento analogo a quello tenuto a pag. 23 e seguenti (Parte 

 Prima) si può determinare la condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 s(x, y) sia una funzione finita e continua assolutamente in ogni punto del 

 campo C. 



Se s(x , y) é finita e continua assolutamente, assegnato a piacere un 

 numero positivo a, per ogni punto {x y ì esiste un cerchio che ha in esso 

 il suo centro e tale che per ogni punto (x. y) nel cerchio medesimo si ha 



\s(x, y) — s(x ,y )\<a. 

 Poiché é 



§{x, y) = \ìm s n (x, y), 



n — oG 



essendo 



s n (x , y) = l\{x , y) -+- u 2 (x , y) H h v n (x , y) 



esisterà un numero n tale che per n > n Q si abbia 



a ) I s (^o^/o^ — s «(^o^o) \<° ■ 



La s n 'x, y) é continua assolutamente: vi é dunque un cerchio di centro 

 (x y ) tale che in ogni punto (x, y) di esso é 



\s n (x, y) — s„(x , y )\<a: 



dimodocché pel punto (x , y ) almeno per ogni valore n maggiore a un 

 certo numero n esiste un cerchio di raggio variabile con n, tale che per 

 ogni punto (x, y) in esso é 



b) [ s(x , y) — s n (x , y) \ < 3a : 



senza escludere con ciò, che un cerchio siffatto possa esistere anche per 

 qualche valore n inferiore a quel valore n Q pel quale é valida la a). 



