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Si fìssi dunque un valore n : per esso dei cerchi di centro (x y Q ) dentro 

 i quali si verifica la b), ve ne saranno infiniti : cioè, se ne é esiste uno 

 di raggio p, ogni altro cerchio di raggio minore, serve ugualmente: per 

 tutti questi raggi, vi sarà dunque un limite superiore p n : il quale p n , per 

 un a fisso e per uno stesso punto (x ,y ), può riguardarsi come una fun- 

 zione di n. — Come tale, esso ammetterà un limite superiore R(x y ) : 

 e questo, esistendo cosi determinato per ogni punto (x ,y ), potrà invero 

 considerarsi come funzione R(x, y) del punto (x, y) nel campo C della 

 quale subito si dimostra che é funzione continua. 



Si descriva il cerchio di centro (x o y ) e raggio R = R(x y ) : si prenda 

 poi un punto (cc',y') dentro quello e col centro in esso si descriva il cer- 

 chio di raggio R' = R(x , y'), R' essendo pel punto (ce', y) ciò che é R pel 

 punto (cc ,y ). 



Si vede subito che é R' > R n — d 



o 



d essendo la distanza tra i centri dei due cerchi : come pure 



R' < R -+- d 



giacché se fosse altrimenti, R dovrebbe essere ingrandito. 



Queste due disuguaglianze mostrano bene che all'impiccolire indefinito 

 della distanza d, R' tende a divenire R . 



Discende di qui, che per la funzione R(x , y) esiste un minimo, che non 

 può manifestamente essere lo zero: poiché per ogni punto (x,y), comesi 

 è detto, vi è sempre un cerchio di raggio R(x, y) determinato maggiore 

 di zero, dentro il quale, per qualche valore di n, è verificata la b). 



Rimane dunque provato che, per ogni numero positivo a piccolo ad 

 arbitrio e per ogni intero m, esiste sempre un numero positivo /:> > tale, 

 che essendo (x y ) un punto qualsivoglia del campo C, per ogni punto 

 (x , y) dentro il cerchio di centro (x y ) e l'aggio p, per un determinato 

 valore n>m, variabile, se vuoisi col punto (x y ), si abbia 



b) | s(cc , y) — s n {x , y) \ < a 



Nel campo C essendo contenuti solo un numero finito di archi di raggio p, 

 da ciò segue che i numera n atti a verificare quella diseguaglianza saranno 

 in numero finito, epperó tra essi vi sarà il massimo. 



Ben s'intende che se il punto (x y ) è sul contorno, l'intorno dentro 

 cui é verificata la b) si ridurrà a una parte di cerchio. 



La condizione qui trovata é sufficiente. Invero essendo (x', y') un punto 

 qualunque di C, si ha per ipotesi 



s(x', y') = lim s„(x' y) 



