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e poiché, per la condizione anzidetta, per tutti i punti (x, y) in un certo 

 intorno di (x' , y) per un determinato valore di n, è 



| s(x , y) — s n (x ,y)\<(T 



e per ipotesi s n (x, y) ammette un massimo assoluto finito e i numeri n, 

 pei quali in tutto C si verifica la precedente disuguaglianza sono, come 

 dicemmo, in numero finito, cosi sarà pure finita per tutto s(x,y): di con- 

 seguenza, per tutti i numeri n maggiori di un determinato m si ha cer- 

 tamente 



\s(x, y') — s n < x\ y)\ <(t; 



d'altronde per tutti i punti (x, y) dentro il cerchio di centro (x',y) e rag- 

 gio p, per un determinato rc>m, si ha 



| s(x , y) — s n (x ,y)\<a 



e per la continuità della s n (x,y), in un cerchio di centro (x',y) e rag- 

 gio p' é 



| s n (x. y) — s„(x', y')\ < a : 



donde segue che per tutti i punti (x, y) nel più piccolo dei due cerchi di 

 centro (x', y ) e raggi p e p' , si ha 



|s(#> y) — s(x, y)\ < 3(7 



il che dimostra la continuità di s(x , y) nel punto (x',y). 



Si può dunque enunciare: affinché la s(x, y), nelle condizioni poste a 

 principio, sia finita e continua assolutamente, è necessario e sufficiente che, 

 per ogni numero positivo o piccolo ad arbitrio e per ogni numero intero m 

 si trovi un altro numero intero m' > m , tale che per un numero n com- 

 preso fra. m e m', si abbia 



\R n (x, y)\ <(J 



R„(x, y) indicando la differenza s(x, y) — s„(x, y) : n potendo variare con (x, y). 

 Questo é, in sostanza, un certo modo di convergenza dalla quale ci si 

 fa un idea, direi, geometrica, riguardando n, x e y come le coordinate 

 cartesiane di un punto nello spazio. — Fissato un valore per n, rimane 

 determinato un corrispondente piano parallelo al piano delle x e y: e al- 

 lora l'enunciato precedente può mutarsi in quest'altro : affinché la 2v w (x,y) 



i 



sia finita e continua assolutamente in tutto C, è necessario e sufficiente 

 che, assegnato il numero positivo a ad arbitrio e scelto a piacere un piano 



