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m, sempre si possa, mediante un numero finii o di pezzi sopra i piani 

 m-t-pj, m + p 2 ,...ra + p„ e costituenti nel loro insieme il campo C, com- 

 porre una superficie in ogni punto della quale sia 



| R n (x , y) | < a . 



Una siffatta convergenza si potrà chiamare convergenza uniforme a, strati. 



il?. — È anche da notarsi che possono enunciarsi per le funzioni di 

 più variabili tutte le considerazioni e proposizioni esposte alla pag. 48 e 

 seguenti della Parte Prima ; e cosi limitandoci alle funzioni di due varia- 

 bili, diremo : 



1° Se si ha una varietà 



u^x , y) , u 2 (x , y) , . . . 



di funzioni delle x e y in un campo C, e delle quali solo é presupposto 

 che siano tutte contenute tra due numeri finiti, la condizione necessaria 

 e sufficiente affinchè vi sia per essa almeno una funzione limite continua 

 é che, preso il solito <r, si trovi nella varietà almeno una sottovarietà tale 

 che in ogni parte del campo C nella quale la massima corda sia infe- 

 rore o eguale a o numero assegnabile tutte le funzioni componenti la va- 

 rietà che oscillino per meno di a. 



Si consideri il caso che le funzioni della varietà siano tutte continue. 

 Se esse saranno egualmente continue, sarà certo verificata la condizione 

 precedente. 



Si riconosce poi che una varietà di funzioni è egualmente continua, os- 

 servando se per ognuna di esse, i rapporti incrementali rispetto a x e a y, 

 in un punto qualsivoglia del campo, sono, in valore assoluto sempre mi- 

 nori di un numero fìsso A. 



co 



18. — Ciò premesso sia 2>w n (x, y) una serie di funzioni continue delle 



i 



due variabili reali x e y in un campo C: sia essa determinata in ogni 

 punto e abbia nel campo C la convergenza uniforme a strati. 

 Altrettanto si verifichi per ciascuna delle serie 





ìx y ty 



le tre serie rappresenteranno funzioni assolutamente continue di x e y in 

 tutto C. 



