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che la 2w n (z) rappresenti, in tal caso, una funzione analitica monogena 



i 

 di #, è, del resto, conseguenza di un fondamentale teorema di Wejer- 



strass. La convergenza in egual grado, lo si vede bene qui, é dunque 



solo condizione sufficiente perchè la 2io„(«) sia funzione nel senso ora detto. 



i 

 Ciò è stato già giustamente osservato dal Sig. Runge, che nella nota: 



Zur Theorie der analytischen Functionen (Acta mathematica 6) ha infatti dato 

 esempio di una serie di funzioni razionali intere, che sopra ogni linea 

 rinchiudente lo zero manca di convergenza uniforme e rappresenta non- 

 dimeno una funzione analitica monogena. 



La condizione necessaria è sufficiente ancora non è nota. 



— Possiamo anche procedere ad un' altra applicazione. 

 Si consideri una funzione /(a? , y) delle variabili reali x e y data in un 

 campo C, limitato dalla curva cc = a(y), x = fi{y). — Per ogni y fìsso ab- 

 bia un limite superiore e inferiore finiti e sia atta all'integrazione rispetto 

 a x, nel tratto di retta ^ = cost, che cade dentro C. Sopra ogni retta sif- 

 fatta sia numerabile il gruppo dei punti x pei quali non si può assegnare 

 un'intorno, definito da x — §...cc-+-d e y — u---y -+- v , nel quale per ogni 

 punto (x, y) sia 



\f(x,y)\ <L (L finito). 



Si potrà allora prendere in considerazione la 



( P(y) = \f{x,y)dx 



JoUy) 



funzione di y in un intervallo e . . . d. 



Si dimostra che se a(y) e @(y) sono /unzioni continue di y e rispetto a y 

 è pure continua in ogni punto interno (x, y) sulla retta y = cost , la fun- 

 zione f(x,y), mentre nei punti del contorno essa ha anche la continuità 

 nella direzione del contorno medesimo, allora ciò è sufficiente perchè sia con- 

 tinua *p(y). 



Invero, posto 



aiy -+- k) = a, , 0(y ■+- k) = o\ , 



a(y) = a, fry) = $ 



si ha 



ip{y -+- k) — <p(y) =jf(x, y-h fcdas — \J{x , y)dx 



= | \f(x , y H- *) — J(x ,y)\dx — C^— a)6 1 ^- (ft— 0)0, 



