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dove 8 é un valore fisso qualsivoglia : e per ciò basteranno le condizioni 

 dianzi enunciate. 



Per ipotesi, per ogni valore y fìsso, é determinata la 



<p (y) = \\m<p(y, p) 



È dunque qui perfettamente applicabile la proposizione della pag. 22 

 della Parte Prima : e si può quindi dire : 



Se a(y) è una funzione continua di y in e . . . d : se la f(x, y), nel campo 

 sopradetto, è continua rispetto a y in ogni punto (x , y) ed è atta all' inte- 

 grazione in x sopra ogni retta y = cost tra a(y) e co , avendo un limite 

 superiore e inferiore finito in ogni tratto finito e quivi un gruppo numera- 

 bile al più dei punti (x) suddescritti, allora, affinché la funzione 



<Po(y) 



\f(& , y)dx 



sia continua in tutto V intervallo c...d, è condizione necessaria e sufficiente 

 che, preso a piacere un numero positivo a, per ogni numero /? finito, esista 

 un numero positivo e diverso da zero d , tale che per ogni valore y nell'in- 

 torno (y 1 — d. . .y l -\-d), y t essendo un valore qualsivoglia tra e e d si abbia 



\f(x , y)dx 



<*(y) 



/(od, y)dx 



<(J 



0' essendo un determinato numero maggiore di 8 e che può anche cariare 

 con a . 



II che equivale a dire che : assegnato comunque il numero a, e una 

 retta x = ($ sempre esista una linea composta di un numero finito di tratti 

 appartenenti a rette 



#=/?!, X = & 9 , . . . X = $ n 



(#, , /?j , . . . p n numeri maggiori di @) in ogni punto (x, y) delta quale si abbia 



/(«» y)dx — ìf(x, y)dx 



@ s essendo uno qualunque dei numeri /^ ,/?,.../?„ . 



E questa condizione consiste, come vedesi, nella convergenza uniforme a 



tratti, che l'integrale lf(x,y)dx deve possedere al crescere di /?, versoi' in- 



r 5o J a(.'/) 



t egra le \j\x , y)dx. 



J u.(y) 



