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20. — Riprendiamo la considerazione della f(x, y) data in un campo 

 finito, come precedentemente. Possiamo anche dare un teorema relativo 

 alla derivazione rispetto a y della $(//). 



Si ha 



<P(y-i-k) — <iXy) __ i f{aì 1 y+-k)—f{x ì y) d 

 k k 



a(y ■+■ k) — a{y) „ /% H- A:) — 0(y) „ 

 ~~ ~JT ■ k 



dove 6 Ì e 6 2 hanno il significato di prima. 



Esistano le derivate a' (y) e /?' (y) ; esista pure la derivata f v (x, y) avente 

 in tutto il campo C per ogni y fisso, un limite superiore e inferiore finiti, 

 e sopra ogni retta y=cost sia numerabile il gruppo dei punti x, nel cui 

 intorno rettangolare non esiste per la \f v (x,y)\ un limite superiore finito ; 

 sia essa atta all'integrazione rispetto a x, lungo ogni tratto di retta 

 y = cost, contenuto nel campo medesimo. 



Si noti che per ogni y e per ogni k che si fissi il rapporto 



/(a?, y-¥-k)—f{x, y) 

 k 



è atto all'integrazione in x lungo il tratto di retta ^ = cost, che é con- 

 tenuto nel campo : in ogni punto x sopra di esso tratto é inoltre 



Ax,y + k)-j\x,y) =K{x ^ yy 



um 



Per tutte queste condizioni è qui applicabile la proposizione (n.° 10 e 15) 

 e si può quindi enunciare: se la f(x, y) è continua in ogni punto lungo 

 tutto II contorno C: se la f y (x, y), lungo ogni tratto di retta y = cost , ha 

 limite superiore e Inferiore finiti, ha al più un gruppo numerabile di punti x 

 nel cui, Intorno rettangolare cessa di essere 



\f y (x,y)\ <L (L finito) 



ed è ivi integrabile rispetto a x; se esistono a'(y) e @'(y), allora si ha ( * ] 



<fi'(y) = f/(cc, y)dx - a(y) -f(a(y) , y) ■+- 8\y) ■/'%) , y) . 



J«.(y) 



C) Veggasi la proposizione data da Stolz a pag. 23 della: Die Le/tre von den Doppenlingralen 



(1899). 



