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La suddetta quantità equivale dunque a — W" z —_ i _ oppure a W s —_ ] il die 

 rientra in un teorema noto di Kirchhoff (*). 



Da ciò che precede si ricava senz' altro, in base a note considerazioni, che le 

 due funzioni 



V = /g- ** J (us)(p(s)ds 



o 

 (2) 



oo 



W = zt wYè^" J \us)(p(s)ds , 



nelle quali i segni superiori valgono per la regione z > e gli inferiori per 2 < 0, 

 sono le funzioni associate relative ad uno strato di densità 



(2) a h(u) = 2^Jj (us)<p(s)sds 



disteso sul piano z = 6», e che la quantità di materia compresa, in tale distribu- 

 zione, entro il cerchio di raggio u è rappresentata da — Wz—-ho * 



La precedente forinola (2) a rende nota la densità variabile dello strato per 

 mezzo della funzione (p, che entra nell' espressione di V e che differenzia le varie 

 distribuzioni possibili. Se si potesse, reciprocamente, esprimere la funzione (p per 

 mezzo della densità, si avrebbe, nelle forinole (2), la rappresentazione delle fun- 

 zioni associate relative a qualunque distribuzione di materia, sul piano z = 0, della 

 quale fosse nota la legge di variazione della densità. 



Ora si può giungere ad ottenere 1' espressione di (p per mezzo di #, senza 

 uscire dalla teoria del potenziale, nel modo seguente. 



» § 3. 



Allorché si tratta di sistemi di masse arbitrariamente distribuite nello spazio, la 

 funzione potenziale elementare è quella che procede da una massa concentrata in un 

 punto : ogni altra funzione potenziale è, o si può considerare, come un aggregato 

 di tali funzioni elementari. Ma quando si tratta di sistemi simmetrici intorno ad 

 un asse, e quando tale simmetria viene rappresentata analiticamente dalla riduzione 

 degli elementi determinativi di un punto nello spazio a due soli, cioè alle coor- 

 dinate u e z (o ad altre equivalenti), la funzione potenziale elementare, dovendo 



(*) Zur Theorie d^s Condensators, nei Monatsberichte dell' Accademia di Berlino, 1877. 



