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 Ora il secondo membro di quest'ultima equazione rappresenta visibilmente la 



funzione potenziale della circonferenza omogenea di raggio a e di densità lineare -, 



CI 



situata nel piano 2 = 0, col centro nel punto u = 0. Dunque, riducendo ad 1 la 

 densità e denotando con v la funzione potenziale di questa circonferenza e con w 

 la funzione associata, si ha 



v = 2na le^~ ss J {us)J (as)ds , 



o 

 (3) 



j oo 



w = ± 2 jrau I er^ ss J ' ' (us)J {as)dé 



La prima di queste forinole rientra esattamente nel tipo (2) e soggiace alla 

 stessa regola per ciò che spetta ai segni. La seconda risulta giustificata a priori 

 dal confronto delle precedenti espressioni (3) colle forinole generali (2). 



La funzione (p ha dunque, per la funzione potenziale elementare, la forma 



(p(s) = 2naJ {as) , 

 epperò dalla forinola (2) a si può concludere a priori che 1' integrale 



I J (as)J (iis)sds 



dev' essere nullo per tutti i valori di u diversi da a ed infinito per u = a (la qual 

 seconda parte è evidente per sé stessa). Questo risultato trova la sua conferma in 

 molte forinole note, a cagion d' esempio in un elegante teorema di Sonine (*), 

 dal quale risulta che 1' integrale 



/ J (as)J (bs)J (cs)sds 



è nullo ogni volta che con tre segmenti rettilinei di grandezza a, è, e non si può 

 costruire un triangolo. 



o 



(*) BechercTies sur les fonctions cylindriques età, nel t. 1G dei Mathematische Annalen, p. 46. 



