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la prima delle quali serve ad esprimere la funzione (p per mezzo della densità h 

 e la seconda serve ad esprimere la densità h per mezzo della funzione (p. 

 Dalla combinazione di queste due relazioni emerge il teorema importante 



(p(u) = JJ (us)sds I J (st)(p(t)t(U , 



che è del tutto analogo a quello di Fourier e che è stato scoperto da Hankel (*). 

 Questo teorema è valido anche quando la funzione è discontinua. Per esempio, se 

 si tratta d' un disco di raggio a e se si applica il teorema in discorso alla den- 

 sità A, scrivendo 



h(u) = iJ (us)sds J J (st)h(f)tdt , 



la funzione li(u) riesce = per u > a. 



§ 4. 



Veniamo ora alla determinazione della funzione potenziale V per mezzo dei 

 valori che essa prende sul piano z = 0. 



Quando questi valori sono dati per tutti i punti del piano, tale determinazione 

 riesce semplicissima. 



Sia infatti V(u) la funzione che rappresenta, da u = ad ti = co, la succes- 

 sione dei valori prescritti alla funzione potenziale. La prima delle forinole (2) dà ; 

 per z ■=. 0, 



fi 



ij {m)(p{sds— V{u) 

 equazione che si può scrivere così 



h r ^ = kf J M *t sds 



2jz 



(*) Veggasi la Memoria postuma Die Fourier' schen Reihen una Integrale fur Cylinderfmildio- 



nen (nel t. 8 dei Math. Ann.) Hankel deduce, a posteriori., le equazioni reciproche (4) dal suo 

 teorema, il quale del resto vale per le funzioni cilindriche d' ogni ordine. 



