494 — 



OD 



— of e ~" (s+J '° s J o( m ) ds ■+■ o / e ~ ( *~ ft)S «%*«) c?s 5 



quindi (supponendo per ora z > 0) 



00 



1 1 



e~ zs J (us) cos si. rfs = 



2 j/ w * h- (e -h #)* 2 j/ w * -+- (s — #) 



a ' 



elove i due radicali devono essere presi in modo che, per u = 0, si riducano 

 rispettivamente a ^ + ti ed a 2 — «7 (vedi la Nota in fine). Si ottiene così 



( u) K = àr,./' ( ?*. .,..-ir,. n »" .... 



2/ j/w* H- (0 -+- #)* 2J \/u s -+- (3 — #)* 



espressione che presenta una singolare analogia colla funzione potenziale d' una 

 massa M = F(a) distribuita sul segmento dell' asse z fra z = — a e z = -+- a, 



colla densità lineare — i^'(0 ne i punti z =z zh i, funzione che sarebbe rappre- 



sentata da 



i^'(0^ 1 C F'(t)dt 



2j y/y? 



(z h- *)* 2/ j/V -+■ (z — tf 



La forinola (14) di V mette in immediata evidenza la sussistenza dell' equa- 

 zione di Laplace, le proprietà all' infinito, la continuità della funzione e delle sue 

 derivate al di fuori del piano z = 0. Rispetto ai punti di questo piano è da os- 

 servare che la detta forni ola (14), benché dedotta nell' ipotesi di z > 0, è valida 

 anche per z = 0. Ciò è manifesto per il caso di u > a, e si dimostra, nel caso 

 di u < tf, colle forinole di Weber (cfr. la Nota). Ma si può osservare che, quando 

 z = 1 u <C ci , il primo dei due integrali (14) si decompone nei due 



/; 



F'(t)dt 1 r F'(t)dt 



\/ ^r — t s i_J \/ f — u s 



