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Prendiamo ora ad esame due piani jt ì Ti collineari sovrapposti e sieno L 1 U 

 due punti corrispondenti dei medesimi; il raggio LL' sarà o non sarà raggio 

 unito. 



Supponiamo dapprima che LL' sia raggio unito; i fasci di raggi corrispon- 

 denti aventi i centri in L e lì saranno prospettivi e le intersezioni dei raggi 

 corrispondenti saranno situati sopra una retta w, la quale dovrà passare per i 

 punti uniti dei due piani non posti sul raggio unito LL' . Alla retta u, conside- 

 rata come appartenente al piano tt } corrisponderà nel piano ri un' altra retta «', 

 e ad un punto B di u, intersezione dei raggi corrispondenti LB, L _B, corrispon- 

 derà un punto B' di u situato sul raggio L'B ; e perciò le punteggiate u } u 

 saranno due punteggiate prospettive e quindi avranno o tutti i punti uniti, op- 

 pure un solo, il punto uu . Nel primo caso, cioè quando tutti i punti di u sono 

 uniti, il punto d' incontro di LL' con u essendo un punto unito, si troverà sulla 

 LL' un altro punto unito S ; tutte le rette condotte da S saranno unite, conte- 

 nendo due punti uniti, il punto S ed il punto del loro incontro colla ?/, e tutte 

 le rette corrispondenti si segheranno sulla u e i due piani collineari sovrapposti 

 sono detti omologici. 



Nel secondo caso quando le due punteggiate prospettive u e u hanno un solo 

 punto unito, il punto uu, i due piani collineari hanno questo punto unito ed il 

 raggio LL' unito, sul quale potranno o no esservi due punti uniti. 



Supponiamo ora che nei due piani collineari sovrapposti non sia il raggio LL' 

 unito ; i fasci di raggi corrispondenti di centri L e L' proiettivi generano una co- 

 nica 2, luogo delle intersezioni delle coppie di raggi corrispondenti, obbligata a 

 passare per L e 1J e per tutti i punti uniti dei due piani. Considerando la conica 

 2 come appartenente al piano jt, ammetterà una conica corrispondente 2' in ti' , 

 passante per lì corrispondente di L e per tutti i punti uniti dei due piani. Quindi 

 i punti uniti dei due piani saranno i punti comuni alle due coniche 2 e 2', ec- 

 cettuato il punto lì e però tali punti uniti saranno o tre punti reali, oppure un 

 solo reale e gli altri due immaginari coniugati, situati però sempre sopra una retta 

 reale, la quale sarà un raggio unito dei due piani. 



Teorema (e). Due piani collineari so- 

 vrapposti, non identici, hanno sempre 

 un punto unito ed una retta unita. Que- 

 sta retta unita può avere due punti uniti 

 reali ed in questo caso i due piani hanno 

 tre punti e tre rette unite, vertici e lati 

 ■di un triangolo unito ; se poi uno dei 

 lati di questo triangolo avesse tutti i 

 punti uniti, i due piani sarebbero omo- 

 logici. 



Teorema (e'J. Due stelle collineari 

 concentriche, non identiche, hanno sem- 

 pre un piano unito ed una retta unita. 

 Per questa retta unita possono condursi 

 due piani uniti ed in questo caso le 

 due stelle hanno tre piani e tre rette 

 unite, facce e costole di un triedro unito; 

 se poi tutti i piani passanti per una di 

 queste costole fossero uniti, le due stelle 

 sarebbero omologiche. 



