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 Sia A un punto unito di due piani ti e n collineari sovrapposti ed l un raggio 

 unito non passante per A. Due rette corrispondenti condotte per A sono due pun- 

 teggiate prospettive ed incontrano il raggio unito in due punti M, M' corrispon- 

 denti e perciò il centro di prospettiva di quelle è situato sulla retta I; i fasci di 

 raggi corrispondenti di centri M, M' proiettivi, avendo il raggio MM' unito, saran- 

 no prospettivi e 1' asse di prospettiva sarà una retta passante per il punto unito. 

 Queste proprietà danno un mezzo facile per costruire due piani collineari sovrap- 

 posti, quando fra i dati si conosca un punto unito, oppure un raggio unito. Da 

 quanto ora si è detto è pure agevole comprendere le proprietà, di cui godranno 

 due piani collineari sovrapposti aventi i vertici e quindi i lati di un triangolo 

 uniti. Laonde abbiamo i seguenti teoremi : 



Teorema (f). In due piani collineari 

 sovrapposti non omologici aventi un 

 punto unito, i centri di prospettiva delle 

 infinite coppie di punteggiate corrispon- 

 denti passanti per il punto unito si tro- 

 vano sopra una retta, la quale è un 

 raggio unito. Le infinite coppie di rette 

 corrispondenti condotte per due punti 

 corrispondenti del raggio unito si segano 

 sopra una retta passante per il punto 

 unito. 



Teorema (f'J. In due stelle collineari 

 concentriche, non omologiche, aventi un 

 piano unito, i piani di prospettiva delle 

 infinite coppie di piani corrispondenti 

 aventi gli assi nel piano unito, passano 

 per una retta, la quale è un raggio 

 unito. Le infinite coppie di raggi cor- 

 rispondenti passanti per il raggio unito 

 inviluppano una retta posta nel piano 

 unito. 



Passiamo infine a considerare due spazi collineari 2, 2' aventi un punto 

 unito A. Sieno l, V] m, m\ n, ri] p, jp' coppie di rette corrispondenti uscenti da A 

 e L, ili, jV, P i loro centri di prospettiva. Se tutte queste coppie di rette corri- 

 spondenti fossero unite, su ciascuna di esse, oltre il punto A, vi sarebbe un altro 

 punto unito, il quale dovrebbe coincidere col centro di prospettiva delle due pun- 

 teggiate proiettive sovrapposte e però sarebbero i punti L, II, N, P uniti. Dico 

 ora che questi punti giaceranno tutti in un piano, supposti non identici i due 

 spazi collineari. Difatti una retta condotta da A, essendo unita, incontra il piano 

 LMN, che è pure unito, in un punto unito e quindi se sopra quella retta vi 

 fosse un altro punto unito, i due spazi sarebbero evidentemente identici. Dunque : 



Teorema (g). Se due spazi collineari 

 hanno un punto unito A, se tutti i raggi, 

 e quindi piani, della stella A sono uniti, 

 vi è anche un piano n luogo di punti 

 e rette unite ; in tal caso i due spazi 

 sono detti omologici ; A è il centro, re è 

 il piano d' omologìa. 



Teorema (g ). Se due spazi collineari 

 hanno un piano unito a, se tutte le rette 

 e quindi punti del piano a sono uniti, vi 

 è anche un punto P, centro di una 

 stella di piani e raggi uniti ; in tal caso 

 i due spazi sono detti omologi ; a è il 

 piano, P il centro dell' omologìa. 



