vom 22. Februar 1866. 115 



Alle diese Differential- Gleichungen sind besonders brauch- 

 bar in dem schon erwähnten Falle, dafs sich P n , G„, H„ nach 

 ganzen positiven Potenzen von x — c entwickeln lassen. Na- 

 mentlich erhält man, wenn F eine rationale Function ist, und 

 daher für die zu entwickelnde Reihe, 'z.B. für H n , sich eine 

 Differential-Gleichung 



T d 2 H n dH n 



L -d^ + M -a^ +NH - 



in der L, M, N ganze Functionen von x sind, finden läfst, zur 

 Bestimmung ihrer Coefficienten Recursions- Formeln von mög- 

 lichst einfacher Beschaffenheit. Es kann jedoch alsdann vor- 

 theilhaft sein, zunächst für P(x } n) eine Entwicklung 



P(x, n) ■+■ P(x, n) 



o i 



in der P, P... ganze Functionen sind, herzustellen, so dafs 



*G(x)P(x,n) ' 



■- dx , 



J VF(x) 



wenn auch G (x) eine rationale Function ist, ein vollständiges 

 Abel'sches Integral wird, zu dessen Bestimmung es besondere 

 Methoden giebt. 



Aus den obigen Formeln für z" , z~ n geht noch hervor, dafs 



„, „ . s w dP(x,n) ,,- 



(„, N , tu dP(x, l) ,, \" 



dP(x l) 

 ist. Man kann daher P(x,ri) aus P(x,i), — ~— J - Fix) zu- 



dx 



sammensetzen. In den meisten Fällen wird es aber einfacher 



sein, P(x, n) vermittelst der obigen Differential-Gleichung direct 



zu bestimmen, da man ja nur für die in der Entwicklung von 



P(x, l) vorkommende Gröfse - überall — zu setzen hat. 



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In einer folgenden Mittheilung werde ich das Vorgetragene 

 an einigen Beispielen erläutern. 



