vom 23, April 1866. 217 



und man erhält eine Fläche vierten Grades mit vier uniplana- 

 ren Knotenpunkten, deren Gleichung ist: 



(2.) (aqr -h brp -f- cpq -+■ dps •+■ eqs -H/Vs) 2 — 4/.£>grs = o 



Die Ebenen der uniplanaren Knotenpunkte sind zugleich 

 Tangentialebenen der Fläche cp = o; eine jede derselben schnei- 

 det aus der Fläche vierten Grades eine Curve vierten Grades 

 aus, welche in dem Knotenpunkte einen dreifachen Punkt hat. 



Die von einem jeden der vier Knotenpunkte ausgehenden 

 einhüllenden Kegel sechsten Grades bestehen aus den drei durch 

 diesen Knotenpunkt gehenden singulären Tangentialebenen und 

 aus einem einhüllenden Kegel dritten Grades. 



Das Modell 1. zeigt diese Fläche, in welcher die Con- 

 stanten so gewählt sind, dafs die Knotenpunkte real sind und 

 dafs die Fläche möglichst symmetrisch wird und nicht in's Un- 

 endliche geht. Die vier singulären Tangentialebenen: 



p = z — k ■+■ x V 2 

 q = z—k — xV'l 

 r = — z — k ■+■ yVi 



s = — z — k — yV2 



bilden ein reguläres Tetraeder und da a = b = c = d = e=f=l 

 gewählt ist, so wird die Fläche (p = o zu der dem regulären 

 Tetraeder umschriebenen Kugel; die Constante X ist gleich \ ge- 

 nommen. Die Gleichung der durch das Modell dargestellten 

 Fläche ist daher: 



(3.) (x 2 + y 2 -hz* -3P) 2 -±((z-ky _2x 2 ) «z + ky -2y 2 ) = o. 



Diese Fläche besteht aus sechs congruenten endlichen Theilen, 

 deren jeder in zwei Spitzen ausläuft, je drei dieser zwölf Spitzen 

 vereinigen sich in einem der vier uniplanaren Punkte. Das 

 Modell bringt die einfachste und allgemeinste Art der unipla- 

 naren Knotenpunkte zur Anschauung nämlich die der zweiten 

 Ordnung in welchen die Ebene des uniplanaren Punktes aus 

 der Fläche eine Curve ausschneidet, die in diesem Punkte einen 

 dreifachen Punkt hat. Wenn die drei durch diesen Punkt ge- 

 henden Aeste der Curve alle real sind und in diesem Punkte 

 drei verschiedene Tangenten haben, so hat ein solcher unipla- 

 narer Knotenpunkt stets die Eigenschaft, dafs in ihm drei ver- 



