vom 23. April 1866. 219 



Die sechs biplanaren Knotenpunkte dieser Fläche liegen so, 

 dafs dreimal je vier in eine und dieselbe Ebene fallen, woraus 

 unmittelbar folgt, dafs diese drei Ebenen, deren jede vier Kno- 

 tenpunkte enthält, aus der Fläche vierten Grades Kegelschnitt- 

 paare ausschneiden. 



Der von einem jeden der sechs Knotenpunkte ausgehende 

 einhüllende Kegel sechsten Grades besteht aus den beiden durch 

 denselben hindurchgehenden singulären Tangentialebenen und 

 aus einem Kegel vierten Grades mit einer Doppelkante, in wel- 

 cher dieser Kegel sich selbst berührt. 



Das Modell II. zeigt diese Fläche für den besonderen Fall, 

 wo ebenfalls die vier singulären Tangentialebenen ein regel- 

 mäfsiges Tetraeder bilden und die Fläche <p = o die alle sechs 

 Kanten desselben berührende Kugel ist. Die Gröfse X hat den 

 besonderen Werth X = — ^ erhalten , für welchen die Fläche 

 in einem endlichen Räume eingeschlossen ist und passende Ver- 

 hältnisse ihrer Dimensionen erhält. Die Gleichung dieser be- 

 stimmten Fläche ist: 



(6.) (x*-*-y 2 +z*-ky-i-ittz-ky-2x 2 )ttz- t -ky-2y 2 ) = o; 



sie besteht aus vier besonderen einander congruenten Theilen 

 deren jeder mit den drei anderen in drei biplanaren Knoten- 

 punkten zusammenhängt. Das Modell bringt eine besondere 

 Art der biplanaren Knotenpunkte zur Anschauung, nämlich die- 

 jenigen, in welchen die beiden osculirenden Ebenen real sind 

 und eine beliebige durch die Durchschnittslinie derselben hin- 

 durch gehende Ebene eine Curve ausschneidet, welche in diesem 

 Punkte sich selbst berührt. Diese Knotenpunkte sind daher 

 nicht als die einfachsten und allgemeinsten biplanaren Knoten- 

 punkte anzusehen, weil bei diesen eine jede solche Ebene eine 

 Curve ausschneidet, welche in dem Knotenpunkte eine Spitze 

 hat, aber nicht einen Punkt der Selbstberührung. 



Die durch die Gleichung (5.) dargestellte allgemeine Fläche 

 vierten Grades mit sechs biplanaren Knotenpunkten enthält als 

 speci eilen Fall auch die Steinersche Fläche, welche drei in 

 einem und demselben Punkte sich schneidende Doppelgrade 

 hat, nämlich für den besonderen Werth * = 16. Für diesen 

 Werth ist 

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