vom 28. Juni 1866. 437 



des Crelle'schen Journals S. 209 benutzt, um den Kettenbruch 

 selbst zu finden; es liefern nämlich die bekannten recurrirenden 

 Formeln, welche je drei aufeinander folgende Näherungsnenner 

 verbinden, sofort die Partial-Zähler und Nenner des Kettenbruchs. 



Im Folgenden gebe ich die Näherungsnenner des Ketten- 

 bruchs für <x an, und zwar wird ein solcher Nenner, wenn er 

 vom wten Grade ist, durch ein rcfaches Integral ausgedrückt; 

 aus demselben findet sich durch je eine Integration der Nähe- 

 rungszähler und der Rest, d. h. die Differenz zwischen er und 

 dem Näherungsbruche. 



Es werden sodann einige Eigenschaften der Näherungs- 

 nenner von <r angegeben, und u. a. findet sich eine Beziehung 

 zu einer Reihenentwickelung, die in einem speciellen Falle, wel- 

 chen ich näher untersuchte, in dem nämlich f(x) gleich 1 divi- 

 dirt durch die Quadratwurzel aus einer ganzen Function von 

 x ist, eine Analogie mit der Entwickelung in trigonometrische 

 Reihen darbietet. Zugleich zeigt sich, dafs in diesem Falle die 

 Näherungsnenner von er zu jenen ganzen Functionen gehören, 

 die einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung genü- 

 gen, über welche ich in einer früheren Mittheilung vom 7. Ja- 

 nuar 1864 berichtete. Der Rest tritt als eine zweite Lösung 

 derselben Differentialgleichung auf. Unten gebe ich die Resul- 

 tate an wenn die erwähnte Quadratwurzel aus einer ganzen 

 Function vom dritten Grade gezogen wird. 



§. 2. In der Analysis haben solche Gesetze für Entwicke- 

 lungen die gröfste Bedeutung, nach welchen die Entwickelung 

 nur auf eine Weise erfolgen kann. So stellt man ein Gesetz 

 auf, um eine reelle Zahlgröfse er auf völlig bestimmte Art in 

 einen Kettenbruch zu verwandeln, dessen Partial-Zähler sämmt- 

 lich 1, dessen Partial-Nenner positive ganze Zahlen sind. Um 

 in ähnlicher Weise eine Function von x — sie heifse <r — zu 

 entwickeln, kann man zwei verschiedene Gesetze aufstellen, von 

 denen das eine Kettenbrüche solcher <r liefert, welche sich nach 

 ganzen absteigenden Potenzen von x ordnen lassen, das andre 

 auf Reihen anwendbar ist, welche nach ganzen Potenzen einer 

 Gröfse x — c aufsteigen. 



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