' vom 28. Juni 1866. 441 



zunächst folgenden Potenzen im Ungewissen bleibt, läfst sich 

 jedoch ausfüllen, wenn man als zweite Eigenschaft ins Auge 

 fafst, dafs N und Z keinen Theiler gemein haben. Diese beiden 

 Eigenschaften sind, wie sich leicht zeigen läfst bestimmend, d. h. 

 jede ganze Function raten Grades N, welche die Eigenschaften 

 besitzt, erstens, dafs im Producte N» er die negativen Potenzen bis 

 zur — raten incl. fortfallen zweitens, dafs die ganze Function Z, 

 welche die nicht negativen Potenzen im Producte N-cr enthält, 

 mit N keinen Theiler gemein hat, ist ein und daher der Nähe- 

 rungsnenner raten Grades von <r. 



Dies vorausgesetzt stelle ich der Reihe nach folgende drei 

 Punkte fest: 1) Existirt ein Nenner N vom raten Grade, so ist 

 eine ganze Function raten Grades, also dieser Nenner, durch 

 die erste Bedingung allein schon vollständig (d. h. bis auf einen 

 constanten Factor) bestimmt. 2) Ist umgekehrt eine ganze 

 Function als Function raten Grades durch die erste Bedingung 

 schon vollständig bestimmt, so genügt sie von selbst der zwei- 

 ten, ist also ein Nenner raten Grades. 3) Die nothwendige 

 und hinreichende Bedingung dafür, dafs durch die erste Eigen- 

 schaft allein eine ganze Function raten Grades N vollständig 

 bestimmt sei besteht darin, dafs (3) nicht verschwindet. 



Um den ersten Punct festzustellen bezeichne N oder N(x) 

 den Nenner raten Grades, dessen Existenz vorausgesetzt wird, 

 der also beiden Bedingungen genügt, und daher die einzige ganze 

 Function raten Grades ist die beiden genügt; ferner sei N 1 (x) 

 eine davon verschiedene Function raten Grades, wenn es solche 

 giebt, die der ersten Bedingung allein genügt. Es mögen Z 

 und Z x den Buchstaben N und N 1 entsprechen. Dann wird 

 für jeden von Null verschiedenen Werth der willkürlichen Con- 

 stante X auch XN-t-N 1 mit XZ-+-Z 1 einen Theiler, also auch 

 einen Theiler ersten Grades x — a gemein haben. Da iV(«) 

 nach der Voraussetzung nicht mit Z(a) zugleich verschwindet, 

 so müssen verschiedenen X auch verschiedene « entsprechen. 

 Es folgt nämlich aus den zwei Gleichungen 



AN(c<) -+■ N 1 («) = o A Z(a) + Z 1 (a) = o, 



von denen wenigstens eine nicht Null als Factor von X enthält, 

 dafs jedem u ein X, verschiedenen et verschiedene >. entsprechen 



