442 Gesammtsitzung 



(höchstens einer Anzahl von je n verschiedenen « können gleiche 

 >. entsprechen). Unendlich vielen verschiedenen X entsprechen 

 also unendlich viele verschiedene «, und man hat für unendlich 

 viele, daher für alle x 



N(x)Z 1 (x) - N 1 {x)Z{x) = o 



was wegen des gleichen Grades von N und N 1 nicht möglich ist. 

 Um auch die Umkehrung (ad 2) zu beweisen nehme man 

 an, es sei 



N=a ■+• a x x +....+ a D x° 



durch die erste Bedingung allein vollständig bestimmt. Diese 

 ist gleichbedeutend mit der Erfüllung eines Systems von n linearen 

 homogenen Gleichungen, deren Unbekannte der Reihe nach 

 a , a u etc. a n sind. Hätte nun N mit Z den Theiler § ge- 

 mein, so würde 



N 



-^ =b + b 1 x -h ...-+• b m x m (m<.n), 



wie aus Division -von (1) durch § erhellt, einem Systeme von 

 noch mehr, also sicher von ebenso vielen Gleichungen genügen, 

 dessen Unbekannte b , b,, .... b m sind, während die m-f-1 

 Vertikalreihen mit den ersten m+l des früheren übereinstimmen. 

 Es würde also dem ersten System aufser a , a n etc. a a zu- 

 nächst noch ein System von n Werthen genügen dessen erste 

 Unbekannte 5 , 6,, etc. b m , dessen übrige sämmtlich o sind. 

 Diese mit einem willkürlichen Factor multiplicirt und dann den 

 a hinzugefügt geben ein neues System von "Werthen aö, a\, etc. 

 a n ' , in welchem a„ = a a also nicht Null ist während nicht alle 

 a ' gleich den entsprechenden a sind, so dafs N gegen die Vor- 

 aussetzung durch die erste Bedingnng nicht vollständig als Func- 

 tion wten Grades bestimmt wäre. 



Durch die erste Bedingung, also durch das vorerwähnte 

 System linearer Gleichungen sind aber die Coefficienten einer 

 Function wten Grades nur und immer bestimmt, wenn eine ge- 

 wisse Determinante, nämlich der Ausdruck (3) nicht verschwin- 

 det. Es ist demnach auch der dritte Punct erledigt. 



