'vom 28. Juni 1866. 443 



§. 5. Aus den vorhergehenden Entwicklungen folgen einige 

 Eigenschaften der Nenner JV, die sich wesentlich bestimmter 

 aussprechen lassen wenn, wie es von jetzt an immer geschehen 

 soll, angenommen wird, dafs f(x) zwischen den reell gedachten 

 Grenzen a und ß von x reell und von demselben Zeichen ist. 



In diesem Falle kann (3) für keinen Werth von n ver- 

 schwinden. Es giebt also Nenner N von jedem Grade, 

 und N v ist genau vom vten. Der Kettenbruch für o- 

 wird durchaus regelmäfsig, indem jeder Partial- 

 Nenner vom ersten Grade ist. Der Rest B v beginnt 

 genau mit der — (r-f-l)ten Potenz von x. 



Man kann ferner zeigen , dafs N v (x) keinen Factor L (x) 

 besitzt, der zwischen x = a und x = ß dasselbe Zeichen behält. 

 Setzt man 



= Ix" N v (#)/(#) dx, 



so lassen sich nämlich die v linearen Gleichungen, welche den 

 ften Nenner bestimmen, durch v Gleichungen i^ = o für alle 

 ganze \x von \x = o bis ix = v — 1 ersetzen. Nach dem vorigen 

 Satze sind diese v Gleichungen vollkommen bestimmend für N vf 

 und man kann hinzufügen, dafs in Folge desselben i v sicher 

 nicht verschwindet. Würde nun N v in L(x)» M(x) zerfallen, 

 wo M demnach vom niedrigem als dem eten Grade, vom Aten 

 wäre, so müfste M(x) der Ate Näherungsnenner des gleichfalls 

 regelmäfsigen Kettenbruchs für 



sein, indem ja 



ß 



lc»M(x)*f(x)L(x)dx 



t' M ist, also für \x = o bis fx = u — l also sicher bis ix = X — i 

 verschwindet. Es dürfte aber, da auch 5 einen regelmäfsigen 



