444 Gesammtsitzung 



Kettenbruch giebt, « x nicht verschwinden. Daher ist L eine 

 Constante. 



Fügt man hinzu dafs, wie sofort aus (2) folgt, alle reellen 

 Wurzeln von N= o zwischen « und ß hegen müssen, so hat 

 man den Satz: Alle Wurzeln von N„(x) = o sind un- 

 gleich und reell. Sie liegen zwischen et und ß. 



§. 6. Bisher ist es mir nicht gelungen, die vielfachen In- 

 tegrale (2), durch welche die Nenner N ausgedrückt werden^ 

 durch directe Methoden, z. B. durch Einführung neuer Verän- 

 derlichen, auf wesentheh einfachere zu reduciren, während man 

 doch weifs, dafs eine Reihe von Fällen existirt, in denen die 

 Integration sogar vollständig ausgeführt werden kann. So z. B. 

 kennt man ans meinen früheren Arbeiten den Ausdruck für 

 die Nenner in Form einfacher endlicher Reihen im Falle 



f(x) = af (l — xf a = o ß = l 



in welchem er sich in eine hypergeometrische Reihe verwandelt, 

 deren erstes Element 1 ist. Für 



f{x) = 1 « = — l ß = \ 



wird 



N v = j4f(js)ti.äxi dx 2 ...dx v = cP v (x) 

 — i 



wenn P die Kugelfunction und c eine Constante bezeichnet, 

 deren Werth durch die Gleichung 



C • [1 • (l • 3) • (l • 3 • 5) (l .3-5 ... 2i/ — l)] 3 = 2"[ni.Il2....ni/] z 



gegeben ist. Aus dem vorigen Paragraphen weifs man, dafs 

 die Wurzeln dieser Nenner verschieden und reell sind und zwi- 

 schen und 1, resp. zwischen — 1 und +1 liegen. Dieses Re- 

 sultat ist für die Kugelfunctionen schon lange bekannt. 



§. 7. Entwickelt man eine Function <p (x) nach Functio- 

 nen, die M „ (x) heifsen mögen, so ist die Bestimmung der Co- 

 efheienten besonders bequem, wenn es eine Function f(x) giebt, 

 welche für jedes ganze \j. und v 



