vom 28. Juni 1866. 449 



Es bleibt noch die Frage zu beantworten, welche Bedin- 

 gungen die Gröfsen 8, a und «, erfüllen müssen — es sind 

 a i ß, y gegeben — damit ein Integral einer Differentialgleichung 

 von der Form (6) der Nenner N„ von o- sei. Man weifs, dafs 

 jede ganze Function , welche (6) genügt, jedenfalls vom vten 

 Grade ist, ferner dafs, bei willkürlich gewähltem 8, doch a und 

 a, immer, und zwar auf mehrfache Weise (im allgemeinen) so 

 gewählt werden können, dafs ein Integral von (6) ganz — da- 

 her vom i'ten Grade — wird. Unsre Frage geht also dahin; 

 wie § gewählt werden müsse, damit ein Integral von (6) grade 

 N v sei. 



Man kann die Untersuchung auf zwei verschiedene Arten 

 führen. Es war oben gefunden, dafs N, und B v »Vyp zwei 

 partikuläre Lösungen von (6) sind, wenn man 8, a und a, ge- 

 hörig bestimmt hat; der Werth von B v ist durch (2) aus N v 

 bestimmt. Es läfst sich nun zeigen: Wenn eine ganze Func- 

 tion y = M (x) der Gleichung (6) genügt und es ist 



= Q(x) = V±(x)f 



ß 

 M(z) dz 



V$(zj 



eine zweite Lösung, so mufs M(x) = N v (x) d. h. so mufs M 

 der Nenner N v von <r und daher Q(x) == R v (x)\ / ^(x) sein. 

 Denn die zweite Lösung Q, welche nicht vom Grade v ist, 

 mufs, wie aus (6) hervorgeht, den Grad — v -f--|- besitzen, so 

 dafs, i u gleich 



G»M(x) <? 



ß 



JA/, (x) 



gesetzt, die v Gleichungen hervorgehn i ß = o von jw = o bis 

 fAssv — i, also die v Gleichungen, welche nach §. 5. die be- 

 stimmenden für N v (x) sind. Die allgemeinen Untersuchungen 

 im 60. Bande des Borchardt' sehen Journals S. 261 auf den 

 vorhegenden Fall angewandt zeigen, dafs Q nur und immer ein 

 Integral von (6) ist wenn i Q = i , =0 wird , und geben daher 

 das Resultat: Nur und immer wenn 8, a, a t so bestimmt 



