450 Gesammtsitzung 



sind, dafs die eine Lösung M{x) von (6) eine ganze 

 Function von x wird, und dafs aufserdem 



ß ß 



/M(x) - 7-^— , = Ix M(x) X = o, 



ist M(x) der vte Nenner N„ (x) von er. Zugleich ist 

 dann 



ft 





der Rest, und B v (x) V \f (x) eine zweite Lösung von 

 (6). Die Gröfsen a, <z, und $ sind durch diese Bedingungen 

 eindeutig als rationale Functionen von g bestimmt. 



Wie bekannt giebt die Bedingung, dafs M ganz sein soll, 

 zwei Gleichungen zwischen a, a t , B; die Bedingungen i = i t =0 

 liefern zwei lineare Gleichungen zwischen den Coefficienten von 

 M oder zwei Gleichungen zwischen a, a , , § und führen in die 

 Coefficienten dieser Gleichungen die einzige Irrationalität q ein. 

 Aus den vier Gleichungen zwischen a, a, und S erhält man je 

 zwei für a, a x und £ und durch Aufsuchen des gröfsten ge- 

 meinsamen Theilers werden a, a x und § eindeutig als rationale 

 Functionen der Coefficienten bestimmt; denn es giebt nur eine 

 Function die allen Bedingungen zugleich genügt. 



Bei der zweiten Art die Untersuchung zu führen, geht man 

 davon aus , dafs nur die Gleichungen i IJL = o von \j. = o bis 

 jw = v — 1 erfüllt zu sein brauchen, wenn M mit N v überein- 

 stimmen soll. Aus (6) findet man leicht recurrirende lineare 

 homogene Gleichungen, die einzeln nicht illusorisch werden, um 

 von ja = 2 bis \x = v — 1 die Gröfse i, x durch die vorhergehenden 

 auszudrücken und dann noch eine Gleichung, also im ganzen 

 v — 1 homogene lineare Gleichungen zwischen i , i f , etc., «„_,. 

 Ist i =i, =o, so folgt aus denselben mit Notwendigkeit, dafs 

 wirklich auch die übrigen i u bis ix = v — l incl. verschwinden. 

 Zählt man die Zahl der Unbekannten ab, so könnte man sogar 

 glauben, dafs die Bedingung i = schon hinreichend sei, um 

 die übrigen i zu Null zu machen, ohne dafs es nöthig wäre, 



