600 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Die einfachste specielle bilineare Form, welche verschwindet, 

 wenn man die zweite Hälfte der Variabein x und y gleich Kuli 

 setzt, ist die Form: 



k—2n 



X?. k x k y n+k 

 t =1 



welche ich „Normalform" nennen will, weil jede bilineare Form 

 in dieselbe transformirt werden kann. Diese Reduction der 

 bilinearen Formen von je in Variabein auf die angegebene Nor- 

 malform ist von der wesentlichsten Bedeutung, indem dadurch 

 nicht blofs die obige Frage nach den speciellen Werthen der 

 Gröfsen t erledigt sondern auch die allgemeine Transformation 

 irgend einer bilinearen Form in eine andere vermittelt wird. 

 Das Problem einer solchen allgemeinen Transformation zweier 

 gegebener Formen: 



SflW «J Vk, Xa' ik x'i y'k 



in einander, welches also — wenn c ik die 4w 2 Substitutions- 

 coefficienten bedeuten — durch die Gleichung: 



Xa ik x, y k =^a' gh c gi c h!r x, y k 



dargestellt wird, erfordert zwar die Erfüllung von 4% 2 Bedin- 

 gungsgleichungen für die gleiche Anzahl Coefficienten c und 

 erscheint hiernach als stets lösbar und bestimmt, in der That 

 aber ist diefs nicht der Fall, da mit den Formen 



^a {i x- y ki Xa' ik x\ y\ 



gleichzeitig die transponirten Formen: 



Xa ki Xi y k< "Sa'nx'i y' k 



durch eben dieselbe Transformation in einander übergehen 

 müssen. Hiernach mufs, wenn u und v zwei unbestimmte Va- 

 riable bedeuten, die Gleichung: 



X (ua lk + va kl ) x t y k = X (ua' ik + va' kl ) x] y' k 

 durch die Substitution: 



Xi = ^c ih x' h> yi = Xc ih y' h 



erfüllt werden. Bezeichnet man die Determinante eines Systems 

 von Gröfsen b lk durch: |&,*|, so erhält man für die Zulässig- 



