608 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



selbst als in einander transformirbar sind, zu einander addirt. 

 In dem oben angegebenen Falle sind es z. B. die n in sich 

 selbst transformirbaren Formen : x k y n+k — x n+k y ki deren Summe 

 eine neue Form bildet, welche Transformationen in sich selbst 

 gestattet, und man sieht leicht, in welcher Weise sich nament- 

 lich die Verallgemeinerung für Determinanten höherer Ordnung 

 gestaltet. Nach diesen Andeutungen über allgemeinere Systeme 

 bemerke ich zuvörderst in Bezug auf dasjenige, durch welches 

 die Form: Xs k x k y n+/r in sich selbst übergeht, dafs dessen 

 Elemente m ik sich rational durch w(2n-f-l) von einander un- 

 abhängige , ein symmetrisches System bildende Gröfsen v ik 

 ausdrücken lassen. Bringt man nämlich die Elemente des dem 

 Systeme (m ik ■+- <$ ik ) entgegengesetzten Systems auf die Form : 



so sind die Gröfsen m und v offenbar durch einander rational 

 ausdrückbar, und es bestehen vermöge der Eigenschaften des 

 Systems m für die Gröfsen v die Relationen : v ik = v ki . Durch 

 diese Zurückführung der Systeme m auf symmetrische Systeme 

 v wird indessen nur die Auffindung aller rationalen, nicht 

 aber die aller ganzzahligen Elemente einer Transformation der 

 Form: ^s k x k y n+k in sich selbst ermöglicht. Hierzu dient 

 vielmehr ein Princip der Reduction von gegebenen Substitütions- 

 Systemen auf „elementare", welches auch auf die allgemeineren 

 vorhin charakterisirten Systeme anwendbar ist. 



Wenn man auf eine Substitution zweiter Ordnung mit 

 ganzzahligen und vorläufig positiv anzunehmenden Coefficienten : 



y 1 = ax^ -+- bx«, y% = cx x -f- dx 2 



successive und abwechselnd die weiteren Substitutionen: 



X i — X 2 , & 2 -~ — ' & l 



X j ^ = X j ™7" J)X .£ • X 2 ^~ X 2 



anwendet, und hierbei für die Zahlen p die Theilnenner nimmt, 



welche bei der Entwickelunsj von — in einen Kettenbruch mit 



a 



den Zählern : — 1 auftreten, so reducirt sich hierdurch schliefs- 



lich in der Reihe der neuen Coefficienten b einer auf Null. 



