vom 15. October 1866. 609 



Ist ad — bc = 1, so werden hiernach die zugehörigen Coefficien- 

 ten a und d gleich Eins , und eine Folge von drei ferneren 

 Transformationen der obigen Art bringt auch den Coefficienten 

 c auf Null. Da überdiefs eine Folge von Substitutionen der 

 ersten Art jede zulässige Zeichenänderung der Coefficienten be- 

 wirkt und die der zweiten Art offenbar aus solchen zusammen- 

 gesetzt werden können, in denen p = 1 ist, so ergiebt sich, dafs 

 jedes ganzzahlige Substitutionssystem zweiter Ordnung mit der 

 Determinante 1 aus den beiden elementaren Systemen: 



' und ' , 



1,-0 o, l 



zusammengesetzt werden kann. Die Zusammensetzung von Syste- 

 men ist dabei stets in der Weise zu nehmen, wie sich dieselbe 

 durch successive Transformation der Variabein ergiebt, so dafs 

 ein aus der Aufeinanderfolge von Systemen a ik und b ik ent- 

 stehendes System c ik durch die Gleichung: 



Cji =2«,v, b hk 

 h 



bestimmt wird. — Da der angegebene, mit dem Kettenbruchs- 

 Verfahren übereinstimmende Procefs der allmäligen Verkleinerung 

 zweier ganzzahliger Elemente einer Horizontalreihe ohne Weiteres 

 auf ein beliebiges ganzzahliges Substitutionssystem «ter Ordnung 

 angewendet werden kann, so sieht man, dafs auf diese Weise 

 zuvörderst nach einander die zur Rechten der Hauptdiagonale 

 stehenden Glieder der ersten, zweiten, dritten etc. Horizontal- 

 reihe und, falls die Determinante gleich Eins ist, alsdann auch 

 die auf der linken Seite befindlichen Glieder auf Null reducirt 

 werden können. Die Zahl der hierzu nur erforderlichen elemen- 

 taren Systeme ist genau gleich n, und zwar kann man dazu 

 diejenigen wählen, welche durch die folgenden Transformationen 

 der Variabein bezeichnet sind: 



1. x y = — x\ , x h = x\, und wenn i ?£ k : x d = x\ , 

 wo nach einander k = 2, 3, . . . n zu setzen ist ; 



2. x x = x\ -f- Xz, und wenn i >■ 1 : x,- = x\ . 



Jedes ganzzahlige Substitutionssystem wter Ordnung mit der 

 Determinante Eins kann also als eine Aufeinanderfolge der an- 

 gegebenen n elementaren Systeme betrachtet werden, und diese 

 Zerlegung beliebiger Systeme in elementare, welche übrigens in 



