610 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



gewisser Hinsicht eine bestimmte ist, hat auch für die arithme- 

 tische Theorie der Formen ihre besondere Bedeutung. 



Um nunmehr zu der analogen Zerlegung der obigen Sub- 

 stitutionssysteme m in elementare überzugehen, bemerke ich zu- 

 vörderst, dafs jede Transformation einer Summe von Formen: 

 x u y n+t — %n+t- ]jk in sich selbst aus denjenigen sich zusammen- 

 setzen lassen mufs , welche eine dieser Formen in sich selbst 

 und aus denjenigen, welche sie in eine der übrigen verwandelt. 

 Demgemäfs ergeben sich mit Rücksicht auf obige Ausfüh- 

 rungen zwei elementare Transformationen der ersteren und n 

 der letzteren Art, nämlich: 



J . X. J X y ^— "-• X w i j , X n , i — — X i , 

 J.. Zj X\ = X i "T" i£/i + i ■ 



11. 1) X t =Xfr) X n + t == X n+i 5 &k != X I 5 ^n+lr ^^n + U 



wo nach einander 2, 3, .... n für Tc zu setzen ist; 



11 • Z ) X | == X j —f~- «2/ n _j_ 2 5 ß? 2 ^ = # g "T* ^ B j.|« 



Hierbei sind der Einfachheit wegen überall diejenigen x 

 weggelassen worden, welche den entsprechenden x' gleich zu 

 setzen sind. — Es läfst sich nun in der That jede beliebige 

 ganzzahlige Transformation der Form: Ss* x t y n +t in sich 

 selbst in eine Folge der angegebenen (n ■+- 2) elementaren Trans- 

 formationen zerlegen und die zu dieser Zerlegung erforderliche 

 Reduction eines beliebigen ganzzahligen Systems m mit der 

 Determinante Eins kann in folgender Weise bewirkt werden: 



Erstens sind mit Hilfe der elementaren Substitutionen 

 nach der oben angegebenen Methode diejenigen Glieder m rs zu 

 vernichten, in welchen s>r ist, sowie diejenigen Glieder m r> n+J 

 in welchen s > r ist, wobei die Indices r und s stets nicht 

 gröfser als n zu nehmen sind. Alsdann sind vermöge der Eigen- 

 schaften der Zahlen m noth wendig sämmtliche Glieder m r<n+s 

 gleich Null, und also die Zahlen m rr sämmtlich gleich Eins. — 

 Zweitens sind hierauf die Glieder m rSi für welche r >• s 

 ist, auf Null zu reduciren, und es verschwinden in Folge dessen 

 von selbst die Glieder m„ +r _ n+Si für welche r und s verschie- 

 den sind, während die Zahlen m n+r t n+r = l werden. — 'Drit- 

 tens sind endlich nunmehr auch die noch übrigen Glieder 



