vom 15. October 1866. 613 



ebenen Figur E so zu paaren, dafs jedem unendlich kleinen 

 Elemente der einen Fläche ein ihm ähnliches der andern ent- 

 spricht. 



Dann werden, wenn man mit x, y, z die Coordinaten eines 

 Punktes von M, und mit p, q die des entsprechenden von E 

 bezeichnet — wo die erstem auf ein orthogonales Axensystem 

 im Raum, die andern auf ein in der Ebene von E enthaltenes 

 zu beziehen sind — x, y, z Functionen von p, q, welche durch 

 folgende Eigenschaften charakterisirt sind: 



1. Für jeden Punkt im Innern und an der Grenze von E 

 haben sie bestimmte endliche "Werthe, die sich stetig mit (p, q) 

 ändern. 



2) Sie lassen sich, wenn (p , q ) irgend ein Punkt im In- 

 nern von E ist, nach ganzen positiven Potenzen von p — p , 

 q — q in Reihen entwickeln, welche für alle in einer bestimmten 

 Umgebung von (j? ,g ) liegende Punkte (p, q) convergent sind; 

 oder mit andern Worten, sie besitzen an allen Stellen im Innern 

 von E den Charakter ganzer rationaler Functionen. Eine Folge 

 davon ist, dafs auch alle ihre Ableitungen ebenso beschaffen sind. 



3) Diese Eigenschaft verbleibt ihnen auch, wenn (p , q ) 

 einer Strecke der Begrenzung von E angehört, welche überall 

 den Charakter einer algebraischen Curve ohne singulare Punkte 

 hat, 1 ) und wenn zugleich die entsprechende Strecke der Begren- 

 zung von M von derselben Beschaffenheit ist. 



4) Zwischen ihren ersten Ableitungen bestehen im Innern 

 von E und an den unter Nr. 3. genannten Stellen der Grenze 

 die beiden Gleichungen 



(i)-(fell^.(iwi) 2 -(iy 



dx dx rW 8y ciz dz 



+ — - -f- =0 



dp dq dp dq dp dq 



5. Diese Ableitungen verschwinden an keiner dieser Stellen 

 alle zugleich. * 



Dieses vorausgesetzt erhält man für die mittlere Krümmung 

 von M in dem zu (p, q) gehörigen Punkte den Ausdruck 



') Vgl. §. 5. 



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