vom 15. October 1866. 615 



2) unter ihren ersten Ableitungen besteht die Gleichung 



\du/ \du/ \du) ' 



3) diese Ableitungen verschwinden an keiner Stelle gleich- 

 zeitig ; 



4) die reellen Theile von /, g, h haben in jedem Punkte 

 der Begrenzung von E bestimmte endliche Werthe, die sich 

 stetig mit u ändern. 



Zugleich läfst sich leicht zeigen, dafs die Gleichungen (A), 

 wenn / (u), g (u), h (u) irgend drei die vorstehenden Bedingungen 

 erfüllende Functionen sind, auch stets eine einfach zu- 

 sammenhangende, in ihrem Innern keinen singulären 

 Punkt enthaltende Fläche darstellen, deren mittlere 

 Krümmung überall gleich Null ist. 



Die Gleichung 



\du) \du/ \du) 



wird befriedigt, wenn man, unter G, H willkürliche Functionen 

 von u verstehend, 



f = G 2 -H 2 ,?ß = iG 2 + iH\f=2GH 

 du du du 



setzt. Zur Erfüllung aller Bedingungen, denen /, g, h genügen 

 müssen, ist es aber nothwendig, dafs überall wo die letzteren 

 den Charakter ganzer rationalen Functionen be- 

 sitzen, G, H dieselbe Beschaffenheit haben. 

 Aus der Gleichung 



V du 2 du) \ T du 2 du) ' 4 \du) 



ist nämlich ersichtlich, dafs an einer bestimmten Stelle a, für welche 

 die Bedingungen (1, 2, 3) erfüllt sind, von den beiden Fac- 

 toren auf der linken Seite nur dann einer verschwindet, wenn dort 



— = ist, und zwar nur dieser eine, weshalb seine Entwick- 

 du 



lung nach Potenzen von u — a mit einer graden Potenz dieser 



Gröfse anfangen mufs. Dies ist aber nur möglich, wenn Cr, H 



