vom 15. October 1866. 617 



die im Innern und im Umfange eines mit beliebigem Radius 

 um den Nullpunkt beschriebenen Kreises liegen." 



2. 



Die in den vorstehenden Formeln vorkommenden Functionen 

 /(«), g(u), h(u) sind zunächst nur für die der Figur E ange- 

 hörigen Punkte definirt. Im Allgemeinen ist aber der Bereich 

 derjenigen Werthe von u, für welche die genannteu Functionen 

 existiren — wenn auch nicht mehr als eindeutig bestimmte — 

 ein weiterer, und es liegen dann alle durch die Gleichun- 

 gen (A) dargestellten Punkte auf einer monogenen Fläche der 

 in Rede stehenden Art — ich will sie von nun an ihrer bekann- 

 ten Eigenschaft wegen eine Minimalfläche nennen — von der 

 die bisher betrachtete M ein einfach zusammenhangender Theil 

 ist. Hierbei ist jedoch zu beachten, dafs man, wenn u irgend 

 ein bestimmter Werth von u ist, unter f(u), g(u\ ä(m) stets 

 simultane Werthe dieser Functionen zu verstehen hat, d. h. 

 solche, die /(m), g(u), h(u) dadurch erhalten, dafs man u bei 

 allen dreien auf demselben Wege von einem im Innern von 

 JE gelegenen Punkte aus zu dem Punkte u übergehen läfst. 



Hiernach können die entwickelten Gleichungen, wenn man 

 sie in dem angegebenen Sinne auffafst, im Allgemeinen als Aus- 

 druck einer Minimalfläche in deren ganzen Ausdehnung betrachtet 

 werden. Man würde zwar irren, wenn man glauben wollte, dies 

 sei stets anzunehmen. Denn bei einer analytischen Function 

 ist der Bereich ihres Arguments nicht immer ein willkürlich 

 auszudehnender, sondern vielmehr in vielen Fällen ein bestimmt 

 begrenzter — ein Umstand, der bis jetzt nicht beachtet 

 worden zu sein scheint, obwohl er für die Functionen-Theorie 

 von grofser Bedeutung ist. Es kann daher sehr wohl kommen, 

 dafs der Bereich von w, für welchen die Functionen /, g, h exi- 

 stiren, der Ausdehnung der Fläche nicht entspricht. Dieser Ubel- 

 stand wird aber vermieden, wenn man unter den unendlich vielen, 

 durch die in Rede stehenden Gleichungen gebotenen Darstellungs- 

 weisen der Fläche solche auswählt, bei denen die Gröfse u in 

 jedem Punkte eine bestimmte geometrische Bedeutung erhält. 

 Durch diese Betrachtung bin ich zu folgenden, wie es mir scheint, 

 beachtenswerthen Formeln geführt worden. 



Man bezeichne die in den Formeln (B) vorkommenden 



