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vom 15. > 



October 1866. 









d 2 *■(«) 



d(s : 



,i)dF{s) 

 i ds 



-h 



d 2 (s, 

 ds Y 







1 ds 2 



dt 





d 8 F(s) 

 ds2 



d(s, 

 ds 



2) dF(s) 

 ds 



H- 



d 2 (s, 

 ds 2 



*) 



d 3 F(s) 



d(s, 



3) dF(s) 



■+- 



d 2 (s, 



») 



3. 



Die durch die Gleichungen (E) oder (F) dargestellte Fläche 

 ist eine algebraische, wenn F (s) eine algebraische Function von 

 s ist. Dies gilt aber auch umgekehrt. 



Zum Beweise schicke ich folgenden Hülfssatz voraus: 



Es sei p -f- qi eine complexe Gröfse, deren geometrischer 

 Ort, wie oben, eine einfach begrenzte ebene Figur E ist, 

 tp (jp ~+- qi) eine eindeutig definirte und continuirliche Function 

 derselben, und \y (p, q) der reelle Theil von (p (p-hqi). Wenn 

 nun in einem bestimmten Falle zwischen \^ (p, q) und p, q eine 

 algebraische Gleichung besteht, so mufs auch <p (p ■+- qi) mit 

 p -f- qi durch eine solche verbunden sein. 



Beschränkt man die Veränderlichkeit des Punktes p -f- qi 

 zunächst auf einen ganz im Innern von E gelegenen Kreis, 

 dessen Mittelpunkt p -\-q i=u sein möge, und setzt 



p—p =a q — q =ß, 



so läfst sich <p (p-hqt) durch eine Reihe 



a, 



■ +M + («i +&i (a + ßi) + (a 2 -hb 2 i) (cc + ßi) ■+• 



dai-stellen, in der a , a u .. . b , 6 1} . . . reelle Constanten sind; und 



es ist 



%// (p, q) = a +\ (ßi-K&ii) («+/3i)-f- ... 

 + f Oi — M) (cc — ßi) + ... 

 Der Voraussetzung nach besteht nun eine Gleichung 



in welcher der Ausdruck auf der ; Linken eine ganze rationale 

 Function von \|/, p, q ist. Entwickelt man dieselbe nach Po- 



