REGELMASSIGE 



SCHNITTE UND PROJECTIONEN 



DES ACHTZELLES UND DES SECHSZEHNZELLES 



IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 



VON 



P. H. S C H O U T E. 



I. SCHNITTE VOM ACHTZELLE Z\. 



1. Man erhâlt eine Abbildung von Z* auf den dreidimensionalen 

 Raum, wenn man einen Würfel in zwei parallelen Lagen annimmt 

 und die entsprechenden Eckpunkte verbindet. Hiervon liefert Fig. 1 

 eine zweidimensionale Andeutung. 



Wir betrachten nun zunâchst den Schnitt vod 2? (Seitenlânge= a) 

 rait dem dreidimeosionalen Raume P 3 , welcher im Mittelpunkte O 

 der Zolldiagonale AB auf dieser Geraden senkrecht steht und also 

 den Ort des Punktes bildet, der von A und B gleich weit entfernt 

 ist. Dieser P 3 muss die von Seiten weder mit A noch mit B ver- 

 bundenen Ecken P 1? P 3 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 aufnehmen, weil diese Punkte 

 von A und B die gleiche Entfernung a[/2 haben. Da. diese Punkte 

 von A die nâmliche Entfernung a[/2 haben, liegen sie auf dem 

 Schnitte von P 3 mit der Hypersphere von Centrum und Radius A 

 und ai/2, d.h. auf der Kugel von Centrum und Radius O und a. 

 Oder, was schneller zum Ziele fiihrt, es ist P : P 2 P 3 ein gleichsei- 

 tiges Dreieck, welches man erhâlt, wenn man vom Wiirfel mit der 

 Körperdiagonale A C die andern Eckpunkte der in C zusammenstos- 

 senden Kanten verbindet. So findet man, dass die sechs genannten 

 Punkte die Eckpunkte sind von acht gleichseitigen Dreiecken, welche 

 in den vier Paaren von parallelen Ebenen liegen, die P 3 mit den 

 vier Paaren von begrenzenden Wtirfeln gemein hat. Deshalb schliess- 

 en diese Dreiecke, wie die Figur auch deutlich erkennen lâsst, ein 

 regelmassiges Octaeder von der Seitenlânge ai/2 ein. Also batman: 



„Der Schnitt des Z* a mit dem Mittelraume senkrecht auf einer 

 Zelldiagonale ist ein Octaeder O a \/% '• 



B 1 



Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (Ie Sectie). Dl. II. 



