4 REGELMÂSSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES ACHTZELLES 



„Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes R 3 geht das Oc- 

 taeder in die Combination von zwei centrischen nicht gleich stark 

 entwickelten entgegengesetzten Tetraedern (Fig. 2) über*)". 



Dieser Satz bildet die Ausdehnung des bekannten Satzes, welcher 

 aussagt, wie ein Würfel von einer Ebene senkrecht zu einer Kör- 

 perdiagonale geschnitten wird. 



2. Wir betrachten weiter den Schnitt von Z s mit dera dreidimen- 



a 



sionalen Raume i2' 3 , welcher im Mittelpunkte O der ersten Querlinie 

 A ' B' (Fig. 3) durch die iMitten von zwei gegenüberstehenden Seiten 

 auf dieser Geraden senkrecht steht. Da die Körperdiagonalen A 1 B l 

 und A z B 2 eines Paares von parallelen Wiirfeln mit A' B' parallel 

 laufen und auf A X A % und B X B. 2 senkrecht stehen, werden sie eben- 

 falls vom Raume R' s senkrecht halbiert. Dem bekannten Satze des 

 Wiirfelschnittes nach, begegnet -R' 3 dièse beiden Wiirfel in gleichen 

 regelmâssigen Sechsecken, die in parallelen Ebenen liegen. Weil 

 A ] A 2 dem Schnittraume i?' 3 parallel ist, begegnet dièse die sechs 

 andern begrenzenden Wiirfel in gleichen Rechtecken (mit den Sei- 

 tenlângen a und |aj/2). Und es leuchtet jedenfalls auch ein, dass 

 die Mitten P l7 P 2 . . Q 6 der zwölf Seiten, welche weder mit ^.^g und 

 B 1 B 2 parallel sind, noch dièse Seiten schneiden, von A' und B' die 

 gleiche Entfernung ^a[/Q haben. Man hat also: 



„Der Schnitt des Z s a mit dem Mittelraume senkrecht auf einer 

 ersten Querlinie ist ein regelmâssiges sechsseitiges Prisma P\aVi,^- 



„Bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes geht Pi a \/2,a in 

 die Combination von zwei centrischen nicht gleich stark entwickelten 

 regelmâssigen dreiseitigen Prismen (Fig. 4) über f)". 



3. Es ist nicht notwendig die übrigen noch einfacheren Falie 

 nâher zu erörtern. Deshalb geben wir nur die Resultate: 



„Der Schnitt des Z? mit dém Mittelraume senkrecht auf einer 

 zweiten Querlinie A" B" (Fig. 5) ist ein rcchtwinkliges Parallelo- 

 piped P a ,a,a\/^. 



„Bei paralleler Yerschiebung ândert sich die Dimension a[/2 J \ 

 „Der Schnitt des Z\ mit einem Raume parallel zu zwei begren- 

 zenden Wiirfeln ist ein Wiirfel W a ". 



4. Wir reihen hier einige Andoutungen über den Schnitt mit 

 cinem willkürlich gewahlten Mittelraume an. Er ist immer von 



*) Hier ist nur die Form und nicht die Grosse der Combination in Vergleichung 

 mit der Grosse des Octaeders richtig angegeben. Denn bei paralleler Verschiebung 

 des Schnittraumes àndert sich der Abstand der parallelen Seitenflachen nicht. 



f) Man selie die erste Fussnote. 



