UND DES SECHSZEHNZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 5 



Paaren paralleler Ebenen eingeschlossen, hat O zum Centrum und 

 ist ia Bezug auf O rad ial-sy metrisch. Es sind also die gegenüber- 

 liegenden Seitenflâchen einandcr entgegengesetzt-eongruente Sechs-; 

 Fiinf-, Vier- oder Dreiecke. Und bei paralleler Yerschiebung verliert 

 der Schnittkörper die centralen Eigenschaften, können sogar einige 

 Seitenflâchen verschwinden. AVeiteres würde uns in die Tetragoniome- 

 trie führen. 



II. Projectionen vom Achtzell Z%. 



5. Wir projicieren zunachst das Z* in der Richtung AB (Fig. 1) 

 auf den oben benutzten Schnittraum E 3 . Dabei wird dann jedes der 

 beiden Quadrupel von entweder in A oder in B zusammentreteu- 

 den Würfeln die nâmliche Projection liefern und die diesea Körper 

 einschliessenden Seitenflâchen von den weder durch A noch durch 

 B genenden zwölf Seitenflâchen von Z\ herrühren. Yon jedem 

 schiefen Parallelopipede, das die Projection eines der acht begren- 

 zenden Wiirfel von Z\ bildet, stossen dann drei Seitenflâchen in O 

 zusammen, indem die drei übrigen zur Begrenzung gehören. Da 

 das Z® im ganzen sechszehn Eckpunkte hat und A und B sich 

 im Centrum O projicieren, wird die Begrenzung vierzehn Eckpunkte 

 zâhlen. Diese vierzehn Punkte sind verschiedener Art. Erstens giebt 

 es sechs Punkte, die ihre eigene Projection sind, die Eckpunkte des 

 Octaeders Ö al / 2 . Zweitens rühren acht Punkte von den Ecken her, 

 die entweder mit A oder mit B verblinden sind. Wir unterdrücken 

 den einfachen Beweis, dass die Projectionen dieser acht Punkte die 

 Eckpunkte eines Würfels W n sind. 1st dieser Beweis gegeben, so 

 findet man : 



„Die senkrechte Projection des Z* in der Richtung einer Zelldi- 

 agonale ist ein Rhombendodekaeder ^. al / 3 -" 



Zeichnet man in der Abbildung des Rhombendodekaeders die vier 

 Wiirfeldiagonalen hinein (Fig. 6) und bringt man die von diesen 

 Geraden zu je zweien bestimmten Ebenen an, so leuchtet es wirklich 

 ein, dass dieser Körper auf zwei verschiedene Weisen die Summe 

 von vier gleichen schiefen Parallelopipeden ist. 



6. Die parallelen dreidimensionalen Râume, welche die Wiirfel 

 A 1 B 1 und A 2 B 2 (Fig. 3) enthalten, stehen senkrecht auf den S treek- 

 en ^i^2 un d BiB-2y welche dem oben benutzten Mittelraume R' z pa- 

 rallel sind. Weun wir das Z 8 a in der Richtung A'B' auf diesen 

 Raum R'-i projicieren, sind die Projectionen der beiden genanuten Wiir- 

 fel also ebene Figuren ; für jeden dieser beiden Wiirfel spielt die 



