6 REGELMÀSSIGE SCHNiTTE UND PROJECTIONEN DES ACliTZELLES 



Operation des Projicierens ganz in seinem eigenen Raume, d. h. auf 

 die Schnittebene seines Raumes mit R'$ ab. Da die beiden Schnitt- 

 ebenen die Körperdiagonalen A 1 B 1 und ^2^2 senkrecht halbieren, 

 sind die beiden Projectionen, einem zweiten bekannten Satze vom 

 Würfel nach, zwei gleiche regelmâssige Sechsecke S la \/ 6 - Weiter 



projicieren sicli die seclis übrigen Würfel als gleiche Parallelopipede 

 mit einer gemeinschaftlichen Seite O-^O^. Deshalb findet man : 



„Die senkrechte Projection des Z* a in der Richtung einer ersten 

 Querlinie ist ein regelmâssiges sechsseitiges Prisma P^V*,^" 



7. Von den übrigen noch einfacheren Fallen geben wir nur die 

 Résulta te. 



„Die senkrechte Projection des Z % a in der Richtung einer zweiten 

 Querlinie ist ein rechtwinkliges Parallelopided P Œ ,a,alA." 



„Die senkreclite Projection des Z* auf einen Raum, der mit zwei 

 der acht begrenzenden Würfel parallel lauft, ist ein Würfel W a ." 



8. Die allgemeinste senkrechte Projection des Z^ ist ein Körper 

 mit höchstens sechs Paaren parallelen Seitenflâchen und 16 Eck- 

 punkten. Sie hat einen Mittelpunkt und ist in Bezug auf diesen 

 radial-sy metrisch. 



III. Analytische Ableitung der gewonnenen Resultate. 



9. Nimmt man die vier dreidimensionalen Râume durch O paral- 

 lel zu den Paaren von begrenzenden Würfeln zu Coordinatenrâu- 

 men an, so erhàlt man die einfachste Coordinatenstellung des Z* 

 Dabei sind die Coördinaten der 16 Eckpunkte durch die Grleichungen 



wo man alle Zeichencombinationen zu betrachten hat, gegeben. 

 Mittels der orthogonalen Transformation 



%/l = x \ + ^2 + #3 + *4 



2 .V2 = x \ + ^2 — «8 — «4 



1) 

 2 #3 = *1 — «2 + *3 — *4 



2 #4 = «•] — *2 — H + x 



4 



wird das Z\ senkrecht auf seine Zelldiagonale gestellt. Mit der 

 Abkürzung h für — a findet man bei jeder Zeichencombination die 

 Werte der doppelten Coördinaten 2//i, 2y s , 2y 3 , 2y 4 angegeben. 



