4 BEGELMASSIGE SCHNITTE UND PEOJECTIONEN DES 



Projection des Z\ ein Würfel W a . Yon den acht begrenzende!) 

 Würfeln des Z\ projicieren sich zwei einander gegenüberliegende in 

 W a , die sechs iibrigen in die Seitenflâchen von W a (I, § 7, zwciter 

 Satz). 



Tm Falle des Z x * erhalten wir auch einen Würfel, jedoch einen 

 ^{ a V% (I, § 14, vierter Satz). Es bilden ni. (Fig. 1) die zwölf 

 Seitendiagonalen des Würfels die Kanten von zwei centrischen gleich 

 stark entwickelten complementàren Tetraedern P Q R S und P' Q' R' S' } 

 welch e die hemiedrischen Form en eines nâmlichen Octaeders sind. 

 Geht man nun vom Tetraeder PQRS aus und projiciert man eins 

 der beiden Z lG } zu deren Begrenzung PQRS gehören kann, auf 

 PQRS } so hat man zünachst auf jede der vier Seitenflâchen als 

 G rund ebene eine regelmassige dreiseitige Pyramide aufzusetzen, 

 deren Höhe die halbe Höhe von A B CD betragt. Deun es ist 

 Cos 120° = — \. Und nun leuchtet es ein, dass man auf diese 

 Weise das Tetraeder zum Würfel anfüllt. So findet man, dass die 

 16 Tetraeder sich nach einander projicieren in PQRS, P'QRS y 

 PQ'RS, PQR'S, PQRS', die sechs Seitenflâchen des Würfels, 

 PQ'R'S', P'QR'S', PQ'RS', P'Q'R'S, P'Q'R'S'. Inclem die drei- 

 dimensionalen Râume von sechs Tetraedern auf dem Raume PQRS 

 senkrecht stehen, wird der Würfel W^ a y/ 2 auf zwei verschiedene 

 Weisen von den Projectionen von fünf Tetraedern ausgefüllt *). 



'ó. Die Ausführung des nâmlichen Gcdankens beim Z 2 a 4 erfordert zü- 

 nachst, dass wir auf jede Seitenflâche ABC des Octaeders O a (Fig. 2) 

 ein zu O a congruentes Octaeder aufsetzen und diese acht neuen 

 Octaeder, jedesmal in die Richtung senkrecht auf die mit dem Octae- 

 der O a gemeinschaftliche Seitenflâche, bis auf die Hâlfte zusam- 

 mendrücken. Diese Construction bringt wieder die gleichwertige 

 Combination von Würfel W ai / 2 und Octaeder 2a (I, Fig. 14) her- 

 vor, welche weiter durch das Symbol [W,0) angedeutet werden 

 soil. 1st ni. P (Fig. 2) der Eckpunkt des ^1/2, welcher der Sei- 

 tenflâche ABC von O a gegenüber liegt und A" B' 1 C" das von den 

 Endpunkten A", B", C" der in P zusammenstossenden Kanten des 

 Würfels (OP) gebildete gleichseitige Dreieck, so liegen die Schnitt- 

 punktc M, M', M" von OPmit den parallelen Ebenen ABC, A'B'C', 

 A"£"C" offenbar so, dass die Strecken PM'\ M" M, MO, O M' ein- 



*) Mnn kann die Figur aucli als eine Projection auf den Baum des Tetraeders 

 1 J ' Q! li' S' betrachten. Will man den Unterschied zwischen beiden Betrachtungswei- 



sen hervorheben, so bat man im ïaumlichen dnrebsiebtigen Bilde das eine Tetraeder 

 als siebtbar, das andere als unsichtbar anzucleuten. 



