VIERUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. 5 



ander gleich sind, und ist deshalb ABC, A"B"C" der auf ABC zu. 

 beschreibende Körper. Und dieses Ergebnis macht es leicht die 

 Projection des Z 2 a 4 zu beendigen. Es bilden nl. die sechs in den 

 Seitenflâchen des Würfels ^ al / 2 liegenden Qnadrate von der Seiten- 

 lange a die Projectionen von sechs begrenzenden Octaedern, die senk- 

 recht auf O a stehen, und jeder der neun in (W,0) enthaltencn 

 Körper ist die Projection von zwei Octaedern des Z 2i *). 



Wenn bei der Projection der regelmâssigen Körper des dreidimen- 

 sionalen Raumes ein regelmiissiges Polygon erhalten wird, können 

 zwei verschiedene Falie eintreten. Ent we der sind die Projectionen 

 der Kanten von obérer un 1 unterer Hâlfte des Körpers verschieden, 

 oder dièse Projectionen konmsn zur Deokung. Analoges ereignet 

 sich bei der Projection von Z 6 * und Z 2 * auf einen der begrenzen- 

 den Körper; bei Z a tritt der erste, bei Z a tritt der zweite Fall ein. 



4. Es liegt das Vermuten nalie, dass die zwölf Eckpunkte des 

 Z 2 *, welche sich auf den Raum des O a iu die Eckpunkte des ( W, 0) 

 projicieren, im vierdimensionalen Raume einem nâmlichen dreidimen- 

 sionalen Raume angehören. Durch Berechnung der Entfernung 

 dieser Punkte vom R% des O a wird dieses Vermuten bestâtigt. Sind 

 ABC und ABD (Fig. 3) zwei Seitenflâchen eines regelmassigen 

 Körpers, welche unter dem Aussenwinkel 9 an einander schli essen, 

 so ist die Entfernung D D' in der Richtung der dritten Dimension 

 dem Producte MD'.Tgcp gleich. In ganz derselben Weise findet 

 man die Entfernung des Punktes A" (Fig. 2) vom R s des O a , wenn 

 man Tg 60° in die Entfernung P M" = . PA" y/ '6 = J a j/ 6 des Punk- 

 tes A" von der Ebene ABC multipliciert. So ergiebt sich, dass 

 die zwölf Eckpunkte in der vierten Dimension nach derselben 

 Seite hin vom R$ des O a eine gleiche Entfernung £ a\/2 haben. 

 Demnach sind die 24 Eckpunkte des Z 2 * im vierdimensionalen 

 Raume in drei parallelen dreidimensionalen Schichten gelagert, von 

 welchen die mittlere 12 Eckpunkte, jede der beiden \a\/2 entfern- 

 ten âusseren 6 Eckpunkte aufnimmt. Beilaufig erhalten wir folgen- 

 den Satz : 



„Es wird das Z~* von jedem Mittelraume, welcher zu zwei der 

 begrenzenden Octaeder parallel ist, in einem (W,0) geschnitten." 



„Bei immer weitergehender paralleler Yerschiebung des Schnitt- 

 raumes werden an den Octaederflâchen des ( W, O) immerfort Schcib- 

 chen abgehobelt und geht der Schnittkorper allmâhlich in ein Octae 



*) Es tritt dieses {W, O) auch bei der SciiLEGEL'sclien Projection auf. 



