8 REGELMÂS3IGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 



PP' parallel sind und sich also auf den Mittelraum, welcher PP' 

 senkrecht halbiert, als Ebenen projieieren. 



Der Reciprocitât nach verlangt der Satz von § 4, dass die senk- 

 rechte Projection des Z 2 * in der Richtung einer Zelldiagonale ein 

 Rhombendoclekaeder Ri ay / 3 sei. Es stiramt dies genau mit der oben 

 gefnndenen Thatsache der 12 senkrechten Octaeder. Und es kann 

 offenbar (Fig. 6) das R in sechs octaederförmige Körper (A O, 

 PRQ'S), (BO } QPSR'), u. s. w. verteilt werden, welche doppelf 

 gezahlt die Projectionen der übrigen 12 Octaeder bilden. Deshal b 

 finden wir den Satz: 



„Die senkrechte Projection des Z 2 * in der Richtung der Zelldia- 

 gonale ist ein it! io ''. 



Die Abzâhlung der Eckpunkte in der letzten Projection zeigt, 

 dass im Mittelpunkte O und in jedem der acht Würfelpunkte 

 P, Q, ft, £, P', Q', ft', S' zwei Projectionen zusammenfallen, in jedem 

 der sechs Octaederpunkte ^,-S, C, A\B\C sich jedoch nur ein 

 Eckpunkt projiciert. Es scheint deshalb, dass der Mittelraum nur 

 die sechs Octaedereckpunkte enthâlt und der Schnitt dieses Mittel- 

 raumes mit Z 2 ^ ein Octaeder O a y2 ist. Dies ist aber nicht der 

 Fall. Obgleich der Mittelraum nur sechs Eckpunkte des Z 2 * auf- 

 nimmt, ist der Schnitt doch ein R 1 . _, wie es die dualistische Um- 



kehrung des Satzes von § 5 verlangt. Denn os wird dieser Schnitt 

 von den 1 2 senkrecht auf dem Schnittraume stenenden 1 2 Octae- 

 dern eingeschitten. Also finden wir: 



„Es wird das Z 2 * von jedem Mittelraume senkrecht auf einer 

 Zelldiagonale in ein Rl üX /3 geschnitten". 



„Bei allmâhlich weitergehender paralleler Verschiebung des Schnitt- 

 raumes werden erst die Octaederecken des R, t/0 vom Wiirfel abffe- 



ial/3 o 



stampft (Fig. 7), bis endlich ein Wiirfel W a zurückbleibt. Wird 

 die Bewegung dann noch weiter fortgesetzt, so verringert sich die 

 Seitenlânge des Wiirfel s bis Null". 



Wir bemerken, dass auch in Bezug auf Raume senkrecht zu 

 einer Zelldiagonale von einer Schichtung die Rede sein kann, wobei 

 sich 1, 8, 6, 8, l der Punkte in den auffolgenden parallelen Schich- 

 ten lagern. 



Bei schrâger Projection der 18 Eckpunkte, welche sich in O und 

 in den Würfeleckpunkten projicierten, erhalten wir eine zweite pa- 

 rallel-perspectivische Abbildung (Fig. 8). Diese wird aus einem 

 Drahtmodelle des Ri al//3 abgeleitet, indem man durch die Würfel- 

 eckpunkte P, Q, R, S } P\ Q' } r' } S' in diesen Punkten halbierte 



