VIEKUNDZWANZIGZELLES IM VIERDIMENSIONALEN RAUME 9 



Strecken P } P 2 , Q x Q. 2 , R x R 2 , u s. w. gleicker Richtung und Lange 

 anniramt, durch O eine in diesem Punkt halbierte Strceko BB' 

 gleicher Richtung umi doppelter Lange hindurchlegt und diese 

 Punkte nachher zur Bildung der 24 Octaeder in geeigncter Weise 

 unter einauder verbindet. Es wird diese Yerbindungsweise nachher 

 scharfer gekennzeichnet werden. 



9. Berechnet man (Fig. 8) die Lange von OD, indem man B,D' 

 und den unendlich fernen Punkt von BD' als Pole von den drei 

 parallelen Raumen von § 4 betrachtet, so findet man OB=a. Es 

 sind demuach die Coördinaten der 24 Eekpunkte des Z 2i in Bezug 

 auf die A.chsen OA,OB, OC,OB durch das Schema 



(3=0,0,0.0), (0,±a,0 0), (0,0, ±a,0), (0,0,0, dra), 



(de £ a, ± I a , ± | o, ± | o) 



gegeben. Daraus folgt der merkwürdige Satz : 



„Die 24 Eekpunkte des Z 2 * zerfallen in die 8 Eekpunkte eines 

 ^ l6 /2 unci die 16 Eekpunkte eines Z 8 ". 



Hieraus folgt unmittelbar die am Ende des § 8 nicht nâher an- 

 gedeutete Verbindung. Offenbar hat man (Fig. 8) die Endpunkte 

 A, C irgend einer Kante des Z l *. j edesmal mit den vier Eckpunk- 



ten P\ R x R 2 ' P 2 jener Seitenfliiche des Z\ zu vereinigen, auf welcher 

 die Kante A C im Mittelpunkte senkrecht steht. 



Es hat das Z 2 * zwölf Zelldiagonalen, welche sich zu drei recht- 

 winkligen Coordinatenachsensystemen anordnen. Denn, sobald man 

 eine Diagonale auserwâhlt hat, ist der senkrechte Mittelraum, wel- 

 cher die drei zugehörigen enthâlt, bestimmt. Deshalb findet man : 



„Die Zerlegung des Z 2 * in Z 1 ^ und Z\ den Eckpunkten nach 

 kann in drei verschiedenen Weisen geschehen." 



Man liest diese dreifache Zerlegung leicht aus dem Bilde (Fig. 5) 

 ab. Offenbar giebt es drei Octupel («, «), (b, ft), (c y) von Ecken. 

 Jedes dieser Octupel enthalt die Eekpunkte eines Zl ls 2 , jedes Paar 

 dieser Octupel enthâlt die Eekpunkte eines Z % n . Wie man erblickt, 

 bestehen die 90 Kanten des Z 2 * j edesmal aus den 32 Kanten des 

 Z\ und die 8 X Ö Yerbiudungslinien von jedem der 8 Eekpunkte 

 des Z l £ mit den 8 Eckpunkten des angrenzenden Würfels von Z 8 . 



Aus den gefundenen folgen weiter noch die Sâtze : 



„Den Eckpunkten nach ist das Z s a eine Combination von zwei 

 Z™ 2 (Fig. 9). Es bilden die 2 X 24 Kanten des Z" ( \ie 48 



Q 



Diagonalen der Seitenflachen des Z a ". 



