VIERUNDZWANZIGZELLKS IM VIERDIMENSIONALEN RAUME. U 



weiterungen des bekannten Satzes, nach welcliem die Eckpnnkte 

 eines Würfels und die Seitenflacben eines Octaeders die Eckpunkte 

 und Seitenflacben von zwei Tetraedern sind (Fig. 1). *) 



10. Zur Ableitung anderer Schnitte und Projectionen des Z^ fas- 

 sen wir die gegenseitige Lage der bei den Zerlegungen ge fun den en 

 Componenten etwas nâber in's Auge. Dabei bedienen wir uns der 

 Notation D n 1 Qf, Q 2 ", Q s n zur Andeutung von Diagonalen, ersten, 

 zweiten und dritten Querlinien des Zelles Z n . 



Betracbten wir zuerst die Zerlegung des Z a in zwei ^S (Fig. 9) 

 und legen wir zur Unterscbeidung den 8 Eckpunkten der einen 

 Z l a 6 2 die Bucbstabe p, denen des anderen die Bucbstabe n bei, so 

 bestâtigt man unmittelbar die in die Œeicbungen 



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8 D 8 = 4 D™ + 4 Q 3 io , 12 Q 3 8 - 12 Q x 



niedergelegten Resultate, wobei nur auf Coincidenz der Geraden, 

 nicbt auf ihre Lange geacbtet wird. Dabei ergiebt sich, dass die 

 beiden Componenten z ^ in ibren 12 Qi iibereinstimmen und die 

 4 D des einen die 4 Q 3 des anderen sind. 



Zwiscben den 8 D 8 und den vier Acbsen des Z 8 a bestebt ein sebr 

 einfacher Verband. Es sind nl. alle spitzwinkligen Dreiecke nOp 

 (Fig. 9) gleicbseitig. Also findet man: 



„Es bilden die 8 -D 8 den vollstândigen Durchschnitt von den vier 

 vierdimensionalen Kegeln, welcbe eine der Acbsen des Z 8 zur Achse 

 und 60° zum balben Scheitel winkel haben". 



Bei den Zerlegungen des Z 2 * bescbrânken wir uns auf diej enigen 

 in zwei Componenten. Unterscbeiden wir dabei die Zerlegung nacb 

 den begrenzenden Raumen mit kleinen Bucbstaben, so gelten die 

 Gleicbungen : 



12 IJ 2 * = 8 D 8 -f 4 D™ = 12 q^ = 12 q£ 

 48 Ctf 4 = 16 Qj 8 + . . . . = 16 Q 2 1G + . . . . 

 48 Q^ = 16g 2 >c + . . . . = 16 9l 8 + .... 

 12 Q^ = 12 Q 2 s = 1 2 Qjic = 8 q 3 ™ + 4 q 3 8 



*) Icli erinnere hier an den bekannten Satz, der aussagt, dass "die 15 ersten Quer- 

 linien entweder eines regelmassigen Pentagondodekaeders oder eines regelmassigen 

 Ikosaeders fünf rechtwinklige Coordinatenachsensysteme bilden (F. Klein, Vorlesungeu 

 über das Ik-osaeder, Seiten 18, 19). Wie viele Satze der nâmlichen Art wird das wei- 

 tere Studium des vierdimensionalen Eaumes uns wolil nicht bringen können? 



