12 OVER DE TOEPASSING DEB QÜATERNIONEN 



4 

 y. = - n m (<j— (V , 



derhalve 



4 



dx =. (pc dQ •=. — - Tim d(j, 

 o 



zoodat nu de berekening van ^ 2 voor de functie q> levert 



^ 2 = — &7im, (19) 



de vergelijking van Poisson. 



Wij hebben hierdoor tevens een zeer merkwaardiger! vorm gevon- 

 den voor een partieele differentiaalvergelijking van de tweede orde. 

 Dit onderwerp is in mijne „Anwendung der Quaternionen auf die 

 Geometrie," welke weldra het licht zien zal, meer uitvoerig be- 

 schouwd, alwaar dan ook eenige algcmeene integratiemethoden voor 

 zoodanige vergelijkingen aangegeven zijn. 



6. In verband met het voorgaande verkrijgt nu ook het theo- 

 rema van Green een eigenaardigen vorm. Stellen wij door F(j en 

 /ju twee scalaire functies van ç voor, zoodanig dat 



dF = SKdy, df — Sxdç 



dK = <P dq, da — cp dy, 



terwijl X 2 en a? 2 de bekende grootheden voor de functies <ï> en cp 

 zijn mogen. 



Wanneer nu verder dç 1} dç 2l dy z drie oneindig kleine vectoren 

 voorstellen, die een volume-element 



d v = S dq-^ dç z d(j% 



bepalen, en wij deze in het vervolg steeds zoodanig geconstrueerd 

 denken, dat de draaiing van dq. 2 naar c/^ 3 van dç-^ uitgezien, tegen- 

 gesteld is aan de bewegiug der wijzers van een uurwerk, terwijl 

 hetzelfde bij een cyclische verwisseling van </(>], cfy 2 , ety 3 geldig blijft, 

 dan is volgens (1*) 



SKx SdQi dQz d() & = 



= S . K(d(J 1 S d(j 2 dq s x -f- d^ Sdq s dy! y. -f- c/(> 3 Sd^i dq z x). 



Duidt men door d-^F de verandering van F aan, als q in Q-\-dç 1 

 overgaat, dan geldt voor den term S Kd^Sd^dç^x van het tweede 

 lid der vorige vergelijking 



S KdQY S d() z d(j% x—di[FS rf(> 2 dy 3 x\ — F S d(j z dy 3 cp dq^ 



