22 OVER DE TOEPASSING DER QUATERNIONEN 



Uit het voorafgaande is verder duidelijk, dat de beide gevallen, 

 waarin een snelheidspotentiaal al of niet bestaat, alleen daardoor 

 onderscheiden zijn, dat in het eerste geval cp een zelfverwante 

 lineaire vectorfunctie is, in het tweede geval niet. 



Wervelbeweging. 



10. Wij zullen nu aantoonen, dat de wervelbeweging op zeer 

 eenvoudige wijze door middel van quaternionen beschreven kan 

 worden. Er zij dus in het volgende ondersteld, dat rp een wille- 

 keurige lineaire vektorfunctie is, welks rotatievector door d aange- 

 duid wordt. Zooals wij in § 8 aantoonden, stelt dan S in grootte 

 en richting de werveldraaiing voor. Denken wij <p in den door 

 (28) aangeduiden vorm en geven wij door d den overgang aan van 

 een punt Q der vloeistof naar een nabijgelegen punt op hetzelfde 

 tijdstip, dan volgt uit de bewegingsvergelijking (32) 



ö do 



-^-j -\- (pdo -f- cciS odV\ -f- cc^Sqdv^ -\- &z SQdVs — d"/> — dn, 



of, als men stelt 



dv\ = <fi\ do, dv z = r/>2 d° » d v % = f fz d°-> 

 dx = ipi do , dn = ifj% do, 



— — - -f- qftdq -\- a l Sdqcp l Q-\- a^SdQfp Z Q -\- or 3 Sdo cp z o z= (ip l — tfJ^dq (33) 



Hierin zijn volgens § 4 r/>! , <yP 2 , y 3 , ^n Va zelfverwante functies. 

 Daar van het tweede lid dezer vergelijking hetzelfde geldt, zoo meet 

 dus ook de rotatievektor van het eerste lid verdwijnen. Nu is <p' z 

 de geconjugeerde functie van q> en volgens (13) 



r/) 3 — ç)'8= 2 [cp VS do -\-V.d cp dg] 



Yoert men hierin voor dg de waarde in uit 



doSccfty = aSftydQ-\-ftSyad Q -\-ySaftdQ . . (34) 



waarin cc, ft, y willekeurige vektoren voorstellen, dan vindt men vol- 

 gens (14*) voor het product van den rotatievektor in q> 2 begrepen 

 met Sufty 



m{(p V§a + VJ<p a)Vfty + (<p Vdft+V.ôcp ft)Vycc + 



+ (<p Vdy+V.d<p y)Vaft] 



