4 BEGELMÂSSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES 



"Wir erinnern hier an dièse bekannten Sâtze, weil sie uns das 

 Mittel darbieten von einer Coordinatenstellung der Eckpunkte des 

 regelmâssigen Pentagons (Coordinatenanfang in M) zu einer Coordi- 

 natenstellung des Ikosaeders im Raume (Coordinatenanfang in der 

 Mitte O von PQ) zu gelangen und ein ganz analoges Verfahren von 

 der Coordinatenstellung des Ikosaeders zu jener des Sechshundert- 

 zelles Z a 600 ftihren kann. 



2. Das Z a 600 wird von 600 Tetraedern eingeschlossen. In jeden 

 Eckpunkt P' dieses Gebildes treten 20 dieser Tetraeder zusammen 

 und die dem Punkte P' gegeniiberliegenden Flâchen dieser Tetraeder 

 schliessen wieder ein regelmâssiges Ikosaeder ein. Es betrâgt die 

 Entfernung P'M' zwischen P' und dem Centrum M' des Ikosaeders 



]/ a 2 L «2 (10 -j- 2 i/ 5) °der 'T a {V / ^ ) — ^) und das Diameter 



16 4 



a 2 

 P'Q' der dem Z a 600 umgeschriebenen Hypersphere oder — — hat die 



Lange a(j/5 -f- !)• 



3. Die Verwirklichung des angedeuteten Gedankens wird am 

 leichtesten gelingen, wenn die ursprüngliclie Coordinatenstellung 

 des Ikosaeders möglichst symmetrisch gewâhlt wird. Deshalb be- 

 ziehen wir das Ikosaeder (Fig. 2) auf eins der fünf von den Quer- 

 linien gebildeten rechtwinkligen Coordinatensysteme. Da der Radius 

 der die Kanten des Ikosaeders in ihren Mitten berührenden Kugel 



_ a 2 oder — a(i/ 5 + 1) hat, 



den Wert 1/ i_ a 3 (10 + 2 i/5) 



finden wir für die Coördinaten der zwölf Eckpunkte (AyA^A^A^)^ 

 (B,B U h 2 ,B 3 ), (C, C ]? C 2 , C 3 ) des Ikosaeders in Bezug auf das System 

 i¥(X l5 X 2 , X 3 ) 



x 3 



B ± -jaft/5 + 1) 



1 



± g a 



± -K a 



2 

 



±1 (1/5 + 1) 



±^a (1/5+1) 



- 2 a 



wobei aile Zeichencombinationen zu nehmen sind. Gehen wir nun 

 vom Système M' (X i7 X 2y X 3} X é ) t in Bezug auf welches alle Punkte 



