16 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJECTIONEN DES 120-ZELLES 



unten gelesenen rlrei Zahlen des unteren Teiles der letzten Vertical- 

 reihe gleich sind. Diese Coincidenz ist nicht zufiillig, vielmehr der 

 Ausdruck eines allgemeinen Gresetzes, das wir in den beiden vorher- 

 gehenden Aufsatzen wolil bewâhrt sahen, dort jedoch noch nicht 

 ausdrücklich hervorgehoben haben. Es ist dies, dass Projection auf 

 einen Mittelraum und Schnitt mit diesem völlig zusammenfallen, 

 wenn dieser Mittelraum ein Symmetrieraum des Zelles ist. Wie 

 unmittelbkr einleuchtet, ist diese Coincidenz eine Folge von zwei 

 aequivalenten Conventionen, welche einander dualistisch gegenüber 

 stehen : erstens dass man bei der Projection die sich im Innern des 

 Projectionskörpers projicirenden Eckpunkte unberücksichtigt lasst, 

 zweitens dass man beim Schnitte nur diejenigen Schnittpunkte der 

 Kanten in Betracht zieht, welche zwischen den beiden Kanten- 

 endpunkten liegen. Deun diese Annahmen sind Ursache, dass man 

 sich im Falie eines Symmetrieraumes R zu in R liegenden Punkten 

 und Kanten und zu auf R senkrecht stellenden Kanten, Seitenfliichen 

 und Grenzkörpern beschiânken kann. 



17. In gediangter Kürze deuten wir hier die mit dem angegebe- 

 nen Gesetze in Einklang stehenden Ergebnisse der beiden vorher- 

 gehenden Arbeiten an. 



Beim Z a s giebt es zwei Arten von Symmetrierâumen, Mittelraume 

 R 3 senkrecht auf einer Q 3 , Mittelraume R z senkrecht auf einer Q 2 . 

 Für die ersteren werden Projection und Schnitt vom namlichen 

 Würfel W a , für die letztereu werden sie vom namlichen Parallel- 

 opiped P ,a,ai/2 gebildet. De-halb finden wir bei der reciproken 

 Polarfigur, beim Z a lQ ^ Symmetrierâume Ra senkrecht auf einer D 

 und R\ senkrecht auf einer Q x . Für die Rd bildet die namliche 

 vierseitige Doppelpyramide, für die R± bildet das namliche Octaeder 

 2 Projection und Schnitt. 



Weil die Polarfigur des Z' 2 ^ in Bezug auf eine concentrische Hy- 

 persphere ein neues Z u in anderer Stellung ist, hat es zwei Arten 

 von Symmetrierâumen, Rd senkrecht auf D und R a senkrecht auf 

 Q 3 aufzuweisen. Für Rd bildet ein nâmliches Rhombendodekaeder, 

 für i2 3 bildet eine namliche Combination ( W, O) Projection und 

 Schnitt. 



18, Wie die zwei die Coördinaten von den Eckpunkten des Z 600 

 und Z m enthaltenden Tabellen unmittelbar zeigen, ist jeder Mittel- 

 raum Rd senkrecht auf D Symmetrieraum von Z Q0 ° und deshalb 

 auch jeder Mittelraum R 3 senkrecht auf Q 3 (von Z^°) Symmetrie- 

 raum von Z no . Daher die Coincidenz von Projection und Schnitt 

 bei Z G °Q für R d und bei Z 120 für R 3 . Wirklich sind (Fig. 4) die 

 Eckpunkte der gleichseitigen Dreiecke und (Fig. 12) die Eckpunkte 



